Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишова для сум чисел. Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової величини зі скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишова дає кількісні характеристики цієї властивості.

Теорема Нехай є випадковою величиною із математичним сподіванням і дисперсією . Тоді для всякого виконується нерівність:

,

інакше:

.

Нам цікавий лише випадок з . Коли права частина і нерівність стає тривіальною, бо ймовірність не перевищує 1.

Наприклад, використовуючи показуємо, що ймовірність того., що значення лежить поза проміжком не перевищує .

Тому що нерівність можна застосувати до будь-яких розподілів якщо вони мають відоме середнє значення і дисперсію, нерівність зазвичай дає слабку оцінку в порівнянні з ситуацією коли відомо більше даних про розподіл.

Мін. % в стандартнихвідхилень від середнього Макс. % поза стандартнихвідхилень від середнього 1 0 100 50 50 1,5 55,56 44,44 2 75 25 3 88,8889 11,1111 4 93,75 6,25 5 96 4 6 97,2222 2,7778 7 97,9592 2,0408 8 98,4375 1,5625 9 98,7654 1,2346 10 99 1

Приклад Припустімо, що ми навмання обираємо часописну статтю зі джерела з 1000 слів на статтю в середньому, зі стандартним відхиленням у 200 слів. Ми можемо зробити висновок, що ймовірність того, що стаття містить від 600 до 1400 слів (тобто в межах k = 2 стандартних відхилень від середнього) має бути щонайменше 75 %, бо згідно з нерівністю Чебишова шанс опинитись за межами цього діапазону не більший ніж . Але, якби ми додатково знали, що ми маємо справу з нормальним розподілом, ми могли б сказати, що існує 75 % шанс того, що кількість слів між 770 і 1230 (точніше обмеження).

Точність оцінки Як показано вище, нерівність зазвичай надає радше слабку оцінку. Однак, для довільного розподілу її неможливо покращити. Це точна оцінка для такого розподілу: для будь-якого k ≥ 1,

Для цього прикладу, середнє значення μ = 0 і стандартне відхилення σ = 1/k, отже

саме для розподілів, які є лінійними перетвореннями цього прикладу, нерівність Чебишова стає рівністю.

Доведення

Нехай  — функція розподілу змінної . Тоді:

.

Звідси одержуємо,

.

З того, що одержуємо твердження теореми.

Див. також Нерівність Маркова Нерівність Ляпунова Чебишов Пафнутій Львович

Джерела