Косо-симетричною (чи антисиметричною) називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні зі знаком мінус щодо головної діагоналі, тобто:
Тобто:
Поняття розглядають переважно для матриць над кільцем характеристика якого не є рівною 2. Якщо характеристика є рівною 2, то кососиметричні матриці у попередньому означенні є еквівалентними симетричним. Іноді у цьому випадку додатково вимагається умова щоб усі елементи на діагоналі були рівні 0.
Приклади Прикладами кососиметричних матриць є адже оскільки .
Властивості Сума двох кососиметричних матриць і добуток кососиметричної матриці на скаляр є кососиметричними матрицями. Тобто кососиметричні матриці утворюють лінійний підпростір простору квадратних матриць заданого порядку. Розмірність цього підпростору є рівною Будь-яка квадратна матриця може в єдиний спосіб бути записаною як сума кососиметричної і симетричної матриць. А саме, якщо то можна записати:
де перший доданок є кососиметричною матрицею, а другий — симетричною. Для визначника кососиметричної матриці виконується рівність:
Як наслідок визначник кососиметричної матриці (характеристика елементів якої не є рівною 2) завжди є рівним 0. Якщо до всіх елементів матриці додати однаковий елемент, то визначник одержаної матриці буде рівним визначнику самої матриці. Тобто, якщо A є кососиметричною матрицею і E — квадратною матрицею того ж порядку усі елементи якої рівні 1, то для будь-якого x виконується рівність Ранг кососиметричної матриці завжди парний. Визначник кососиметричної матриці парного порядку, як многочлен від її елементів є рівний квадрату многочлена який називається пфаффіаном матриці:
Матриці з дійсними елементами Власні значення кососиметричної матриці із дійсними числами є уявними числами і для кожного такого власного значення його комплексне спряжене теж є власним значенням. Квадрат дійсної кососиметричної матриці є симетричною напіввід'ємно визначеною матрицею. Дійсна кососиметрична матриця є нормальною, а тому вона є діагоналізомною над полем комплексних чисел і більш того можна записати де U є унітарною матрицею, а — діагональною. Над полем дійсних чисел можна натомість записати: де є дійсною ортогональною матрицею, а має вигляд:
Дивись також Антисиметричний тензор Ермітова матриця Косоермітова матриця Пфаффіан Симетрична матриця Теорія матриць
Джерела