В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у модульній арифметиці .
Твердження
Елементарне твердження Нехай маємо два різних простих числа p і q. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:
Якщо хоча б одне з чисел p і q є рівним 1 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
має розв'язок тоді й лише тоді, коли має розв'язок відносно невідомого y таке рівняння:
Якщо p і q рівні 3 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого x:
має розв'язок тоді й лише тоді, коли рівняння відносно невідомого y:
не має розв'язку.
Твердження за допомогою символу Лежандра З використанням символу Лежандра, твердження закону можна записати так:
Також існує два доповнення до закону: і
Приклади
Для простих чисел
Нехай p дорівнює 11, а q дорівнює 19, i тоді (оскільки ). Далі , і, оскільки 2 не є квадратичним лишком за модулем 3, маємо: . Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити:
Загальний випадок Покажемо, що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. Із властивостей символу Лежандра маємо:
Використання квадратичного закону взаємності дає рівність:
Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату:
Див. також Модульна арифметика Символ Лежандра