Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.
Визначення
Передбачимо, що задано ймовірнісний простір . Дискретні випадкові величини
Нехай і — випадкові величини, такі, що випадковий вектор має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей . Нехай такий, що . Тоді функція , де - функція ймовірностей випадкової величини , називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини за умови, що . Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.
Абсолютно неперервні випадкові величини
Нехай и - випадкові величини, такі що випадковий вектор має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей . Нехай таке, що , де - щільність випадкової величини . Тоді функція
називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини за умови, що . Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.
Властивості умовних розподілів
Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема , , і майже усюди на , , Справедливі формули повної ймовірності: , .
Якщо випадкові величини і незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:
або майже усюди на .
Умовні ймовірності
Дискретні випадкові величини
Якщо - зліченна підмножина , то .
Абсолютно неперервні випадкові величини
Якщо - борелівська підмножина , то припускаємо за визначенням .
Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки .
Умовні математичні сподівання
Дискретні випадкові величини
Умовне математичне сподівання випадкової величини за умови виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу: . Умовне математичне сподівання за умови випадкової величини - це третя випадкова величина , що задається рівністю .
Абсолютно неперервні випадкові величини
Умовне математичне сподівання випадкової величини за умови виходить інтеграцією щодо умовного розподілу: . Умовне математичне сподівання за умови випадкової величини - це третя випадкова величина , що задається рівністю .
Джерела
Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810 Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6