Поліноми Бернштейна — алгебраїчні поліноми, що є лінійною комбінацією базисних поліномів Бернштейна. Названі на честь українського математика Сергія Бернштейна, який вперше їх вивчав у зв'язку з доведенням теореми Стоуна — Веєрштрасса. Поліноми широко використовуються у обчислювальній математиці, теорії ймовірностей, комп'ютерній графіці, зокрема для визначення кривих Без'є.
Визначення
(n + 1) базисний поліном Бернштейна степеня n визначається формулами:
де — біноміальний коефіцієнт.
Базисні поліноми Бернштейна степеня n утворюють базис для лінійного простору поліномів степеня n.
Лінійна комбінація базисних поліномів Бернштейна
називається поліномом Бернштейна степеня n. Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Бернштейна.
Приклади базисні поліноми Бернштейна найменших степенів мають вигляд:
Властивості Розбиття одиниці: ,
Невід'ємність на інтервалі від 0 до 1: ,
Рекурентні відношення: .
Симетрія:
Добуток поліномів:
Похідна: де приймається для чи
Лінійна комбінація поліномів вищих порядків:
Локальний максимум: має локальний максимум на проміжку у точці . Дане значення рівне:
Вираження через поліноми Бернштейна
Для вираження звичайних степенів через поліноми Бернштейна справедлива формула:
Апроксимація неперервних функцій Нехай f(x) — неперервна функція на інтервалі [0, 1]. Розглянемо поліноми Бернштейна:
Тоді:
рівномірно на проміжку [0, 1].
Див. також Крива Без'є
Джерела