Теорема Гудштейна — твердження математичної логіки про натуральні числа, зроблене Рубеном Гудштейном, стверджує, що всі послідовності Гудштейна закінчуються нулем. Це теорема є такою, що не виводиться із аксіом Пеано, але може бути доведена в арифметиці другого порядку.
Послідовності Гудштейна Спочатку визначимо нотацію запису чисел на основі степенів одного числа (hereditary base-n notation).
Запишемо натуральне число в вигляді Потім позбудемось від коефіцієнтів, перетворимо множення в суму однакових доданків: стане
Далі запишемо всі показники степенів в нашій нотації і продовжимо це робити рекурсивно поки всі числа в запису не стануть рівними n чи 0 (записуватимемо 1 для скороченого позначення n0).
Наприклад, 35 на основі степенів 2 буде
Послідовність Гудштейна для числа m позначимо G(m) і визначимо так: першим елементом послідовності буде число m, наступним елементом буде запис числа m на основі степенів 2; для наступного замінимо всі 2-ки на 3-ки й віднімемо 1, переведемо число в запис на основі степенів 3; і так далі.
Приклади
Розглянемо коротку послідовність G(3):
ОсноваЗаписЗначення 2 21 + 1 3 3 (31 + 1) − 1 = 31 3 4 41 − 1 = 1 + 1 + 1 3 5 (1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1 2 6 (1 + 1) − 1 = 1 1 7 1 − 1 = 0 0
Вже послідовність G(4) буде дуже довгою.