Ма́триця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай, матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми. У цій статті вони розглядатися не будуть. Вивченням матриць займається теорія матриць.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Означення та нотація Матрицею розміру (m-на-n,або mn-матрицею) називається множина з елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з рядків і стовпців, а і — її розмірністю:

де – елемент матриці; – номер рядка; – номер стовпця. при альтернативному позначенні використовуються великі круглі дужки: Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпчиками або стовпцями. Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.

Записують це як чи a[i,j], або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Часто пишуть для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A[i,j] позначають як aij для всіх 1 ≤ i ≤ n та 1 ≤ j ≤ m.

Приклад

Матриця     є матрицею 4×3. Елемент A[2,3], або дорівнює 7.

Розмір Розмір матриці визначає кількість рядків і стовпців, які вона містить. Матрицю із m рядками і n стовпцями називають матрицею m × n або m-на-n матрицею, а самі m і n називають розмірами матриці.

Матриці, які мають лише один рядок називаються векторами-рядками, а ті що мають один стовпець називаються векторами-стовпцями. Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців називається квадратною матрицею. Матриця з нескінченною кількістю рядків або стовпців (або їх обох) називається нескінченною матрицею. Наприклад, в комп'ютерних програмах, іноді зручно розглядати таку матрицю, що не містить рядків чи стовпців, що називається порожньою матрицею.

Назва Розмір Приклад Визначення Вектор-рядок 1 × n Матриця з одним рядком, іноді використовується для представлення вектора Вектор-стовпець n × 1 Матриця з одним стовпцем, іноді використовується для представлення вектора Квадратна матриця n × n Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців, іноді використовується для представлення лінійних перетворень у векторному просторі, такі як обертання, відбиття і скіс.

Дії над матрицями

Операція порівняння Дві матриці та називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .

Додавання Якщо дано дві матриці m-на-n A і B, можемо визначити їх суму A + B як матрицю m-на-n, що утворюється додаванням відповідних елементів, тобто, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Наприклад,

Основні властивості операцій додавання матриць: A + B = B + A (комутативність). A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність). A + 0 = A, для будь-якої матриці. Також, для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A), така, що A + (-A) = 0.

Множення на скаляр Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[i, j] = cA[i, j]. Наприклад,

З цими двома операціями множина M(m, n, R) усіх матриць m-на-n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

Множення матриць

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m-на-n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n-на-p (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею m-на-p (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] для кожної пари i та j, тобто . Наприклад,

Це множення має такі властивості: (AB)C = A(BC) для всіх матриць A розмірності k-на-m, B розмірності m-на-n і C розмірності n-на-p (асоціативність). (A + B)C = AC + BC для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності n-на-k (дистрибутивність). C(A + B) = CA + CB для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності k-на-m (дистрибутивність).

Зауваження: комутативність має місце не завжди: для добутку певних матриць A і B може бути AB ≠ BA.

Матриці називають антикомутативними, якщо AB = −BA. Такі матриці є дуже важливими в алгебр Лі та в представленнях алгебр Кліффорда.

Транспонування

Транспонування матриці A розміром m-на-n утворює матрицю n-на-m AT (що також позначається як Atr або tA), яка є результатом перевертання рядків у стовпці й навпаки: (AT)i,j = Aj,i. Приклад:

Розбиття

Матрицю можна розбити на блоки (підматриці) з елементів і присвоїти різним блокам імена. При цьому, коли один блок знаходиться під іншим, то ці блоки повинні мати однакове число стовпців. Коли ж два блоки розташовуються поруч, то вони повинні мати однакове число рядків. Дві блокові матриці, розбиті однаково (тобто відповідні блоки мають однакову розмірність).

Для транспонування блокових матриць необхідно транспонувати кожний блок окремо, а потім транспонувати розташування блоків:

.

Лінійні перетворення, ранг і транспонування Матриці можуть представляти лінійні перетворення, оскільки множення матриць відповідає композиції відображень, як це буде показано далі.

Надалі ототожнюватимемо елементи Rn з множиною рядків або матриць n-на-1. Для кожного лінійного відображення f : Rn -> Rm існує єдина матриця A розмірності m-на-n така, що f(x) = Ax для всіх x з Rn. Кажемо, що матриця A «представляє» лінійне відображення f. Тепер, якщо матриця B розмірності k-на-m представляє інше лінійне відображення g : Rm -> Rk, лінійне відображення g o f представлене матрицею BA. Це випливає з зазначеної вище властивості асоціативності множення матриць.

Ранг матриці A — це розмірність образа лінійного відображення, представленого матрицею A. Вона збігається з розмірністю простору, згенерованого рядками матриці A, а також із розміром простору, згенерованого стовпчиками матриці A.

Транспонованою матрицею матриці A розмірності m-на-n є матриця Atr (також іноді позначають як AT або tA) розмірності n-на-m, яку одержують заміною рядків стовпчиками і навпаки, себто Atr[i, j] = A[j, i] для всіх індексів i та j. Якщо A описує лінійне відображення відносно двох базисів, матриця A tr описує транспозицію лінійного відображення відносно дуальних базисів, див. дуальний простір.

Маємо (A + B)tr = Atr + Btr і (AB)tr = Btr * Atr.

Спеціальні види матриць

У багатьох розділах математики з'являються матриці певної структури. Декілька важливих прикладів: Квадратна матриця Одинична матриця Симетрична матриця — матриця, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі (від верхнього лівого до нижнього правого кута) є рівними, себто, ai,j = aj,i. Нормальна матриця Ідеальна матриця Унітарна матриця Ермітова матриця (або самоспряжена) — матриця, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі є комплексно-спряженими один до одного, себто, ai,j=a*j,i. Стохастичні матриці — квадратні матриці, стовпчики яких є ; вони застосовуються для означення Марківських ланцюгів.

Лінійні рівняння

Матриці використовують для компактного представлення систем лінійних рівнянь і роботи з ними. Наприклад, якщо A є матрицею m-на-n, x позначає вектор стовпець (що є матрицею n×1) n змінних x1, x2, ..., xn, і b є вектором-стовпцем m×1, тоді матричне рівняння

є еквівалентним наступній системі лінійних рівнянь:

Із використанням матриць, це можна розв'язати у більш компактній формі ніж виписувати всі ці рівняння окремо. Якщо n = m а рівняння є незалежними, це можливо зробити записавши

де A−1 є оберненою матрицею для A. Якщо A не має оберненої матриці, розв'язок, якщо такий існує можна знайти за допомогою псевдооберненої матриці.

Лінійні перетворення

Матриці й операція множення матриць розкривають свої важливі властивості при застосуванні для лінійних перетворень, що також називають лінійними відображеннями. Дійсна m-на-n матриця A задає лінійне перетворення Rn → Rm і відображає кожен вектор x у Rn у матричний добуток Ax, що в свою чергу є вектором у Rm. Відповідно, кожне лінійне перетворення f: Rn → Rm може здаватися унікальною m-на-n матрицею A: більш детально, із A є iю координатою f(ej), де ej = (0,...,0,1,0,...,0) є одиничним вектором зі значенням 1 у jій позиції і 0 в інших позиціях. Говорять, що матриця A задає лінійне відображення f, і A називається матрицею перетворення для f.

Наприклад, матрицю 2×2

можна розглядати як перетворення одиничного квадрата в паралелограм із вершинами у , , , і . Паралелограм зображений праворуч отримано за допомогою множення A на кожний вектор-стовпець і по черзі. Ці вектори задають вершини одиничного квадрата.

Наступна таблиця показує декілька 2-на-2 матриць із відповідними лінійними відображеннями у R2. Початкова синя фігура відображається у зелену сітку і фігуру. Початок координат (0,0) відмічено чорною точкою. Горизонтальний скіс при m=1.25. Відбиття відносно вертикальної осі Відображення стиснення при r=3/2 Масштабування на коефіцієнт 3/2Поворот на кут π/6R = 30°

Квадратна матриця

Квадратною матрицею називають матрицю з однаковою кількістю рядків і стовпців. Матриця n-на-n є квадратною матрицею порядку n. Будь-які дві квадратні матриці однакового порядку можна додавати й множити. Входження aii утворюють головну діагональ квадратної матриці. Вони знаходяться на уявній лінії, яка проходить від верхнього лівого кута до нижнього правого кута матриці.

Основні типи {| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;" |- ! Назва !! Приклад для n = 3 |- | Діагональна матриця || style="text-align:center;" | |- | Нижньотрикутна матриця || style="text-align:center;" | |- | Верхньотрикутна матриця || style="text-align:center;" |

Діагональна і трикутна матриця Якщо всі елементи матриці A нижче головної діагоналі дорівнюють нулю, A називають верхньотрикутною матрицею. Аналогічно, якщо всі елементи A вище головної діагоналі дорівнюють нулю, A називають нижньотрикутною матрицею. У випадку, коли всі елементи матриці крім головної діагоналі є нулями, A називають діагональною матрицею.

Одинична матриця

Одинична матриця In розміром n є матрицею n-на-n в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1 а всі інші елементи дорівнюють 0, наприклад,

Це квадратна матриця порядку n, і також це є особливим випадком діагональної матриці. Вона називається діагональною матрицею, оскільки множення на неї залишає матрицю незмінною: AIn = ImA = A для будь-якої m-на-n матриці A.

Симетричні або кососиметричні матриці Квадратна матриця A що дорівнює своїй транспонованій матриці, тобто, A = AT, є симетричною матрицею. Якщо замість того, A дорівнює негативній транспонованій матриці, тобто, A = −AT, то A є кососиметричною матрицею. У випадку комплексних матриць, поняття симетрії часто заміняється поняттям Ермітової матриці, що задовольняє умові A∗ = A, де зірочка позначає ермітове-спряження матриці, що є транспонованою комплексною спряженою матриці A.

Відповідно до спектральної теореми, дійсні симетричні матриці і комплексні Ермітові матриці мають власний базис; такий що, кожен вектор можна задати у вигляді лінійної комбінації власних векторів. В обох випадках всі власні значення є дійсними.

Невироджена матриця і її обернена Квадратна матриця A називається невиродженою або не-сингулярною якщо існує матриця B, така що AB = BA = In , де In n×n є одиничною матрицею із 1-ями на головній діагоналі і 0-ми в інших місцях. Якщо B існує, вона є єдиною і називається оберненою матрицею для A, і позначається як A−1.

Додатноозначена матриця Додатноозначена матриця Невизначена матриця Q(x,y) = 1/4 x2 + y2 Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2 Точки при яких Q(x,y)=1 (Еліпс). Точки при яких Q(x,y)=1 (Гіпербола). Симетрична n×n-матриця A називається додатноозначеною якщо для всіх не нульових векторів x ∈ Rn відповідна квадратична форма, що задається як f(x) = xTA x