Дійсні числа — елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа та ірраціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.
Наочно поняття дійсного числа можна уявити за допомогою числової прямої. Якщо на прямій обрати напрям, початкову точку та одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на цій прямій, і навпаки, кожна точка представлятиме єдине дійсне число. Через цю відповідність, термін числова пряма зазвичай використовується як синонім множини дійсних чисел.
Множину дійсних чисел стандартно позначають чи R (від , ).
З погляду сучасної математики, множина дійсних чисел утворює неперервне впорядковане поле. Це означає, що дійсні числа можна додавати, віднімати, множити та ділити (окрім ділення на нуль), і для них справджуються всі звичні властивості арифметичних дій (комутативність і асоціативність додавання та множення, дистрибутивність додавання та віднімання відносно множення тощо), їх можна порівнювати між собою (відомо котре з двох дійсних чисел більше, а котре менше чи вони рівні між собою), а також, що на числовій прямій немає «дірок» — між будь-якими дійсними числами знайдеться дійсне число.
Історія виникнення поняття дійсного числа
«Наївна» теорія дійсних чисел Перша розвинена числова система, побудована в Стародавній Греції, містила лише натуральні числа і їх відношення (пропорції, в сучасному розумінні — додатні раціональні числа). Однак з'ясувалось, що для задач геометрії і астрономії їх недостатньо: наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони (яке дорівнює ) не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом.
Щоб якось вийти з положення Евдокс Кнідський ввів, в доповнення до чисел, більш широке поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі чи об'єму. Теорія Евдокса дійшла до нас у працях Евкліда («Начала», книга V). По суті, теорія Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, при такому підході число є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталону. Однак потрібно зауважити, що Евдокс не розглядав таке відношення саме як число; через це в «Началах» багато теорем про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія Дедекінда побудови дійсних чисел за своїми принципами дуже подібна на викладки Евдокса. Але модель Евдокса неповна в багатьох відношеннях — наприклад, вона не містить аксіоми неперервності, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин чи їх відношень та ін.
В перші століття н. е. ситуація стала змінюватись. Вже Діофант Александрійський, всупереч попереднім традиціям, розглядає дроби так, як і натуральні числа, а в IV книзі «Арифметика» навіть стверджує: «Число виявляється не раціональним». Після розпаду античної науки на перший план вийшли індійські та ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання чи обчислення вважався числом. Ці погляди поступово стали домінуючими і в середньовічній Європі, де спочатку розділяли раціональні і ірраціональні (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне зрівняння в правах ірраціональних чисел пов'язане з працями Сімона Стевіна (кінець XVI століття). Він же, з деякими зауваженнями, легалізував від'ємні числа, а також розвинув теорію і символіку десяткових дробів.
Через століття Ньютон у своїй «Універсальній арифметиці» (1707) дає класичне означення (дійсного) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону. Тривалий час це прикладне означення вважалось достатнім, так що важливі для практики властивості дійсних чисел і функцій не доводились, а вважались інтуїтивно очевидними (із геометричних чи кінематичних міркувань). Строге визначення поняття неперервності також було відсутнім. Як наслідок, багато теорем містили помилки, нечіткі або надто загальні формулювання.
Навіть після того, як Коші розробив достатньо строгий фундамент математичного аналізу, ситуація не змінилась, оскільки теорії дійсних чисел, на яку повинен був опиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив немало помилок, поклавшись на інтуїцію там, де вона приводила до неправильних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду із неперервних функцій завжди неперервна.
Створення строгої теорії
Першу спробу заповнити цю прогалину в основах математики зробив Бернард Больцано у 1817 році. В його роботі ще немає цілісної системи дійсних чисел, але вже наводиться сучасне означення неперервності. В пізнішій праціБернард Больцано.Парадоксы бесконечного. Больцано наводить начерк загальної теорії дійсних чисел, за ідеями близький до канторовської теорії множинРыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515–532., але ця його робота не була надрукована за життя автора і побачила світ лише в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і залишились без належної уваги математичного товариства.
Сучасна теорія дійсних чисел була побудована у другій половині XIX століття, в першу чергу працями Веєрштрасса, Дедекінда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї важливої математичної структури і остаточно відділили це поняття від геометрії і механіки.
Конструктивні способи побудови дійсних чисел При конструктивному визначенні поняття дійсного числа, на основі відомих математичних об'єктів (наприклад, множини раціональних чисел ), які вважаються заданими, будують нові об'єкти, які, в певному значенні, відтворюють наше інтуїтивне розуміння дійсного числа. Вагомою відмінністю між дійсними числами і цими побудованими об'єктами є те, що перші, на відміну від других, розуміються нами лишень інтуїтивно і поки що не є строго визначеним математичним поняттям.
Ці об'єкти і називають дійсними числами. Для них вводять основні арифметичні операції, визначають відношення порядку і доводять їх властивості.
Історично першими строгими визначеннями дійсного числа були саме конструктивні визначення. В 1872 році були одночасно опубліковані три роботи: теорія фундаментальних послідовностей Кантора, теорія Веєрштрасса (в сучасному варіанті — теорія нескінченних десяткових дробів) і теорія перерізів в області раціональних чисел Дедекінда.
Теорія нескінченних десяткових дробів
Дійсне число позначається як нескінченний десятковий дріб, тобто вираз вигляду
де є одним із символів або , який називається знаком числа, — ціле невід'ємне число, — послідовність десяткових знаків, тобто елементів числової множини .
Нескінченний десятковий дріб інтерпретується як таке число, яке на числовій прямій лежить між раціональними точками вигляду
Порівняння дійсних чисел у формі нескінченних десяткових дробів проводиться за розрядами. Наприклад, нехай задано два невід'ємних числа
Якщо , то ; якщо , то . У випадку рівності переходять до порівняння наступного розряду. І так далі. Якщо , то після скінченного числа кроків зустрінеться розряд такий, що . Якщо , то ; якщо , то .
Але при цьому треба враховувати, що число дійсне число може бути записане у вигляді десяткового дробу не єдиним чином. Тому, якщо запис одного із порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, є періодичним десятковим дробом, у якого в періоді стоїть 9, то його слід замінити на еквівалентний запис, з нулем в періоді.
Арифметичні операції над нескінченними десятковими дробами визначаються як неперервне продовженняОскільки на множині дійсних чисел вже введено відношення лінійного порядку, то ми можемо означити топологію числової прямої: як відкриті множини візьмемо всі можливі об'єднання інтервалів вигляду відповідних операцій над раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел і назвемо дійсне число , яке задовольняє наступну умову:
Аналогічно визначається операція множення нескінченних десяткових дробів.
Теорія перерізів в області раціональних чисел
Згідно з підходом Дедекінда дійсні числа визначаться за допомогою перерізів на множині раціональних чисел.
Перерізом на множині раціональних чисел називається будь-яке розбиття сукупності всіх раціональних чисел на два непорожніх класи — нижній та верхній так, що кожне число із нижнього класу строго менше будь-якого числа із верхнього:
Якщо існує число , яке є максимальним у нижньому класі, або мінімальним у верхньому класі, то це число розділяє множини і : числа нижнього і верхнього класів лежать по різні сторони від . Кажуть також, що раціональне число призводить до заданого перерізу множини раціональних чисел.
Якщо ж у нижньому класі перерізу немає максимального елемента, а в верхньому — мінімального, то не існує ніякого раціонального числа, яке б розділяло множини і . В цьому випадку за означенням вважають, що цей переріз визначає деяке ірраціональне число , яке знаходиться між нижнім і верхнім класами, і тим самим призводить до заданого перерізу. Інакше кажучи, для довільного перерізу, до якого не призводить жодне раціональне число, вводять новий об'єкт — ірраціональне число, яке за означенням більше довільного числа із нижнього класу і менше будь-якого числа із верхнього класу:
Об'єднання всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел, а його елементи — дійсними числами.
Арифметичні операції над дійсними числами визначаються як неперервне продовження відповідних операцій над раціональними числами, так само як у теорії нескінченних десяткових дробів. Наприклад, сумою дійсних чисел і називається дійсне число , яке задовольняє наступну умову:
Теорія фундаментальних послідовностей Кантора
У підході Кантора дійсне число розглядається як границя числової послідовності раціональних чисел. Для того, щоб послідовність раціональних чисел збігалась, на неї накладається умова Коші:
Суть цієї умови в тому, для будь-якої заданої відстані, існує такий номер елемента послідовності після якого члени послідовності будуть розташовані один від одного на відстані, меншій цієї заданої відстані. Послідовності, які задовольняють умову Коші, називаються фундаментальними.
Дійсне число, яке визначається фундаментальною послідовністю раціональних чисел , позначимо .
Два дійсних числа
визначені відповідно фундаментальними послідовностями і , називаються рівними, якщо
Якщо задані два дійсних числа і , то їх сумою і добутком називаються числа, визначені відповідно сумою і добутком послідовностей і :
Відношення порядку на множині дійсних чисел встановлюється за допомогою такої домовленості: число за означенням більше числа , тобто , якщо
Спосіб побудови множини дійсних чисел за допомогою фундаментальних послідовностей раціональних чисел є частковим випадком побудови поповнення довільного метричного простору. Як і в загальному випадку, отримана в результаті поповнення множина дійсних чисел вже є повною, тобто містить в собі границі всіх фундаментальних послідовностей своїх елементів.
Аксіоматика множини дійсних чисел Побудувати множину дійсних чисел можна різними способами. В теорії Кантора дійсні числа — класи еквівалентних фундаментальних послідовностей раціональних чисел, в теорії Вейєрштрасса — нескінченні десяткові дроби, в теорії Дедекінда — перерізи в області раціональних чисел. У всіх цих підходах в результаті отримуємо деяку множину об'єктів (дійсних чисел), які наділені певними властивостями: їх можна додавати, множити, порівнювати між собою. Більш того, оскільки встановлені властивості цих об'єктів, то можна більше не апелювати до тих конкретних конструкцій, з допомогою яких вони були побудовані.
В математиці важлива не конкретна природа об'єктів, а тільки математичні співвідношення, які існують між ними.