Вектор проєкції вектора a на ненульовий вектор b (також відомий як компонента вектора) є ортогональною проєкцією на пряму лінію, паралельну b. Вектор, паралельний b, визначається як , де є скаляром (називається скалярною проєкцією a на b) та b̂ одиничний вектор у напрямку b.
У свою чергу, скалярна проєкція визначається як , де оператор · позначає скалярний добуток, |а| — це довжина, і представляє кут між а і b. Скалярний проєкція дорівнює довжині проєкції вектора, зі знаком мінус, якщо напрямок проєкції протилежно напрямку b.
Вектор проєкція а на b іноді позначається a∥b.
Вектор проєкції Вектор проєкції а на b є вектором, величина якого скалярна проєкція на b і кут, проти b 0 або 180 градусів.
А саме, визначається як: , де a1 є відповідна скалярна проєкція, як визначено вище, і b одиничний вектор з тим же напрямком, що і b:
.
Проєкцією вектора a на інший вектор b є вектор, що обчислюється за формулою
Визначення в термінах а та b Коли θ невідомо, косинус θ може бути обчисленим в термінах а та b
Скалярна проєкція
До вищезазначеної властивості скалярного добутку, визначенням скалярної проєкції стає
Вектор проєкції Аналогічним чином, визначення вектора проєкції а на b стає
що еквівалентно або
Остання формула є більш ефективною для обчислювання, ніж перша. В кожній з формул потрібно обчислювати скалярний добуток і множити скаляр на вектор, але в першій формулі потрібно додатково обчислювати квадратний корінь та ділити вектор на число.Другий скалярний добуток, квадратний корінь не відображені, але вони потрібні для обчислень; (більш докладно див. у визначенні Норма (математика)), в той час коли в останній потрібно лише розділити скаляр на скаляр. Відкидання вектора За визначенням,
Отже,
Властивості Скалярна проєкція
Скалярний проєкція a на b є скаляр, який має від'ємний знак, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів. Вона збігається з довжиною | C | вектора проєкції, якщо кут менше 90 °. Більш точно: a1 = |a1|, якщо 0 ≤ θ ≤ 90 градусів, a1 = −|a1|, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів. Векторна проєкція
Вектор проєкція а на b вектор a1, який є або нульовим або паралельним b. Більш точно: a1 = 0, якщо θ = 90°, a1 та b мають однаковий напрямок, якщо 0 ≤ θ < 90 градусів, a1 and b мають однаковий напрямок, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.
Матриця проєкції Ортогональна проєкція може бути представлена матрицею проєкції. Для проєктування вектора на одиничний вектор , потрібно домножити на проєкцію матриці:
Використання Проєкція вектора є важливою операцією в процесі Грама — Шмідта ортогоналізації базису векторного простору. Також використовується в теоремі про розділову гіперплощину.
Узагальнення Оскільки поняття довжини вектора і кута між векторами може бути узагальненим на будь-якому n-мірному простору, це вірно і для поняття ортогональної проєкції вектора, проєкції вектора на інший, а також відхилення одного вектора від іншого. У деяких випадках, скалярний добуток збігається з добутком точки. Всякий раз, коли вони не збігаються, то скалярний добуток використовується замість скалярного добутку в формальному визначенні проєкції та відхиленні.
Для отримання тривимірного внутрішнього простору, поняття проєкції вектора на інший і відхилення вектора від іншого може бути узагальнено на поняття проєкції вектора на площину, і відхилення вектора від площини.
Проєкція вектора на площині є її ортогональною проєкцією на цю площину. Відхилення вектора від площини є її ортогональною проєкцією на прямій лінії, ортогональної до цієї площини. Обидва вектора, по-перше, паралельно площині, по-друге ортогонально. Для даного вектора і площини, сума проєкції і відхилення дорівнює вихідному вектору.
Так само для внутрішніх просторів у більш ніж трьох вимірах, поняття проєкції на вектор та відхилення від вектора можна узагальнити на поняття проєкції на гіперплощину, і відхилення від гіперплощини.
Див. також Скалярний добуток Скалярна проєкція
Примітки
Джерела
Скалярний добуток і проєкція вектора із прикладами