Трику́тник в евклідовій геометрії — геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які їх сполучають. Трикутник з вершинами , , і позначається . Трикутник є многокутником і -симплексом. В евклідовій геометрії трикутник однозначно задає площину. Всі трикутники двовимірні.
Основні відомості про трикутники подано Евклідом у праці «Елементи» близько 300 до н. е.
Типи трикутників
Трикутники класифікують залежно від взаємних довжин їхніх сторін: Рівностороннім називають трикутник, в якого всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють , а центри вписаного та описаного кіл збігаються. Рівносторонній трикутник ще називають правильним. Рівнобедреним називають трикутник, в якого дві сторони мають однакову довжину. Ці сторони називають бічними, третю сторону називають основою трикутника. У рівнобедреному трикутнику кути при його основі рівні. Різностороннім називають трикутник, в якого всі сторони мають різну довжину. Внутрішні кути різностороннього трикутника також різні за величиною.
Трикутники класифікують також залежно від їхніх внутрішніх кутів: Якщо один із внутрішніх кутів рівний (прямий кут), то трикутник називають прямокутним. Сторону, протилежну до прямого кута, називають гіпотенузою, а інші дві сторони — катетами. Якщо один із внутрішніх кутів більший ніж , то трикутник називають тупокутним. Якщо всі кути трикутника менші від , то трикутник називають гострокутним. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.
Точки і лінії, пов'язані з трикутником
Є сотні різноманітних побудов для визначення особливих точок всередині трикутника, які задовольняють деякі унікальні умови (див. у списку посилань перелік статей). Часто необхідно побудувати три прямі, пов'язані аналогічно з трьома сторонами (вершинами, кутами) трикутника, і тоді переконатись, що вони перетинаються в одній точці. Важливим інструментом для перевірки цього є теорема Чеви, яка дає критерії для визначення конкурентності прямих. Подібно до цього лінії, пов'язані з трикутником, часто будують після перевірки, що три аналогічним чином отримані точки є колінеарні — теорема Менелая дає для цього випадку загальний критерій. Тут подані тільки ті побудови, що найчастіше трапляються.
Серединний перпендикуляр трикутника — це перпендикуляр, опущений на середину сторони трикутника. Три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола. Діаметр описаного кола можна визначити з теореми синусів.
Виходячи з теореми Фалеса, можна стверджувати: якщо центр описаного кола розміщений на одній зі сторін трикутника, то протилежний кут — прямий. До того ж, якщо центр описаного кола розміщений всередині трикутника, то трикутник гострокутний, а якщо назовні, то трикутник тупокутний.
Висота трикутника — це пряма, проведена з вершини перпендикулярно до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти — це відстань від вершини до основи трикутника. Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать всередині трикутника) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (у ньому жоден з внутрішніх кутів не більший від прямого кута). Див. також ортоцентрична система
Бісектриса трикутника — це пряма, проведена через вершину трикутника, яка ділить відповідний кут на дві рівні частини. Три бісектриси перетинаються в одній точці, інцентрі, центрі вписаного в трикутник кола. Вписане коло — це коло, яке лежить всередині трикутника і дотикається до трьох його сторін. Окрім того, є ще три важливі кола — зовнішні вписані; вони лежать за межами трикутника і дотикаються до одної його сторони, а також до продовження двох інших. Центри внутрішнього і зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.
Медіана трикутника — це пряма, проведена через вершину і середину протилежної сторони, вона ділить трикутник на два трикутники однакової площі. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом трикутника. Ця точка є також центром мас трикутника: якби трикутник був зроблений з твердого матеріалу, то можна було б тримати рівновагу, тримаючи за центроїд. Центроїд ділить кожну медіану у співвідношенні , наприклад відстань між вершиною і центроїдом вдвічі більша ніж між центроїдом і протилежною стороною.
Середні точки трьох сторін і основи трьох висот лежать на одному колі, яке називається колом дев'яти точок трикутника. Решта три точки, через які коло отримало свою назву, — це середини тієї частини висоти, що лежить між ортоцентром і вершиною. Радіус кола дев'яти точок дорівнює половині описаного кола. Воно дотикається до вписаного кола (в точці Феєрбаха) та до трьох зовнішніх вписаних кіл.
Центроїд (жовтий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) і центр кола дев'яти точок (червона точка) — всі лежать на одній лінії, яка називається лінія Ейлера (червона лінія). Центр кола дев'яти точок лежить на середині між ортоцентром і центром описаного кола, а відстань між центроїдом і центром описаного кола дорівнює половині відстані між центроїдом та ортоцентром.
Основні факти
Вершини трикутника зазвичай позначають великими латинськими літерами , , , кути при відповідних вершинах грецькими літерами , , , а довжини протилежних сторін — маленькими латинськими літерами , , .
Сума внутрішніх кутів трикутника становить . Зовнішній кут трикутника (кут суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. Як і у всіх випуклих багатогранників, сума зовнішніх кутів трикутника .
Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це є нерівність трикутника, або аксіома трикутника (в окремому випадку нерівності два кути зменшуються до нуля і трикутник перетворюється у відрізок).
Два трикутники називають подібними тоді і тільки тоді, якщо кути одного рівні відповідним кутам іншого. В такому випадку довжини відповідних сторін пропорційні. Так може бути, наприклад, коли у двох трикутників є спільний кут, а сторони протилежні цьому куту — паралельні. Ось кілька постулатів і теорем про подібні трикутники:
Два трикутники подібні, якщо в них хоча б два відповідні кути рівні. Якщо дві відповідні сторони в трикутниках пропорційні, а кут між ними однаковий, то трикутники подібні. Якщо всі сторони двох трикутників пропорційні, то трикутники подібні.
Два трикутники називають конгруентними, якщо всі їхні відповідні сторони і кути рівні (6 елементів). Кілька головних постулатів і теорем про конгруентні трикутники:
Постулат SAS (side-angle-side): якщо дві сторони і кут між ними в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні. Постулат SSS: якщо всі відповідні сторони в трикутників рівні, то трикутники конгруентні. Постулат ASA: якщо сторона і прилеглі до неї кути в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні. Постулат AAS: якщо два кути і будь-яка сторона в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні. Теорема Гіпотенуза-катет: якщо гіпотенуза і один катет в прямокутних трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
Обчислення площі трикутника
Обчислення площі трикутника є простою задачею, яку часто треба вирішити у багатьох галузях. Найвідоміша і найпростіша формула:
де — площа, — довжина основи трикутника, — висота трикутника, відносна до основи. Хоча ця формула й проста, вона може бути використана тільки у разі, якщо можна легко знайти висоту. Наприклад, землемір ділянки трикутної форми вимірює довжину кожної сторони і може знайти площу без визначення довжини висоти. На практиці можна використовувати різні методи визначення площі, залежно від того, що відомо про трикутник. Нижче наведено добірку найуживаніших формул.
З використанням векторів Площу паралелограма можна обчислити за допомогою векторів. Нехай вектори і спрямовані відповідно від до і від до . Тоді площа паралелограма дорівнює , тобто числове значення векторного добутку і . дорівнює , де — висота паралелограма як вектор.
Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма .
Площу трикутника також можна обчислити як скалярний добуток векторів. .
Тригонометричний спосіб
Висоту трикутника можна визначити використовуючи тригонометричні формули. Згідно з позначенням, як на малюнку зліва, висота дорівнює . Підставивши висоту в формулу , яка наведена вище, отримаємо: . Крім того, , що справедливо і для інших двох кутів: . Знаючи сторону і два кути, один з яких прилеглий:
,
і аналогічно якщо відомі сторони a чи c.
Знаючи сторону і два прилеглі кути:
,
і аналогічно якщо відомі сторони чи .
Використання координат
Якщо точка розташована в точці відліку Декартової координатної системи, а координати інших двох точок і , тоді площа може бути обчислена як абсолютного значення детермінанту: . В загальнішому випадку: . В тривимірному просторі площа трикутника {, і } дорівнює Піфагоровій сумі відповідних проєкцій на три головні площини (для яких або або ): .
Формула Герона
Форма трикутника однозначно визначається трьома сторонами. Відповідно для того, щоб порахувати площу, достатньо знати довжину сторін. За формулою Герона:
де — півпериметр Інші способи запису формули Герона:
Формули, схожі на формулу Герона
Є три формули, що схожі на формулу Герона, але записані через інші величини. Позначивши медіани для сторін , , і відповідно як і , а їхню півсуму як , маємоBenyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, «Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
Тоді, позначивши висоти на сторони , , і відповідно як , , і , і позначивши півсуму величин, обернених до висот, як , матимемоMitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle», Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
Позначивши півсуму синусів кутів як , матимемоMitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines», Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
де — діаметр описаного кола:
За допомогою теореми Піка Див. теорему Піка для пояснень, як знайти площу довільного цілочислового многокутника.
Теорема стверджує, що
де — кількість цілочислових точок усередині многокутника, — кількість цілочислових точок на межі многокутника.
Інші формули обчислення площі
Існують також інші формули для обчислення площі, наприклад,
де — радіус вписаного кола, і - (півпериметр);
Для діаметра описаного кола ; іMitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette 93, July 2009, 306—309.
для кута .
В 1885 році, БейкерBaker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, " Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. дав підбірку з більш ніж сотні різних формул для обчислення площі трикутника (хоча варто попередити читача, що деякі з них неправильні). Наводимо тут #9, #39a, #39b, #42, і #49:
,
,
,
Для радіуса описаного кола , і
.
Обчислення площі прямокутного трикутника У прямокутному трикутнику можна взяти один із катетів як основу, а інший — як його висоту. Звідси формула прямокутного трикутника
де — площа, а і — катети.
Обчислення сторін та кутів
Загалом, є різноманітні прийняті методи обчислення довжин сторін та кутів трикутника. Якщо певні методи можуть бути використані тільки в прямокутному трикутнику, то інші можуть виявитись потрібними для складніших випадків.
Тригонометричні відношення в прямокутних трикутниках
У прямокутних трикутниках тригонометричні співвідношення — синус, косинус і тангенс можуть використовуватись, щоб знайти невідомі кути чи невідомі довжини сторін. Сторони трикутника позначають так: Гіпотенуза — сторона протилежна до прямого кута, або найдовша сторона в прямокутному трикутнику, в даному випадку .