Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності , де — довільна множина, — метричний простір, збігається до функції (відображення) , що означає, що для будь-якого існує такий номер , що для всіх номерів і всіх точок виконується нерівність
Ця умова рівнозначна тому, що
Зазвичай позначається. називається рівномірною границею послідовності функцій на множині X.
Приклад Послідовність , рівномірно збігається на будь-якому відрізку , і не збігається рівномірно на відрізку .
Властивості Із рівномірної збіжності випливає поточкова збіжність на тій же множині.
Якщо — нормований простір і послідовності відображень і , рівномірно збігаються на множині , то послідовності також як і при будь-яких також рівномірно збігаются на .
Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень , рівномірно збігається на множині та обмежене відображення, то послідовність також рівномірно збігається на .
Якщо — топологічний простір, — метричний простір та послідовність неперервних в точці відображень рівномірно збігається на множині до відображеня , то це відображення також неперервно в точці .
Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій рівномірно збігається на відрізку до функції , то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного має місце рівність і збіжність послідовності функцій на відрізку до функції рівномірна.
Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку функцій , збігається у деякій точці , a послідовність їх похідних рівномірно збігається на , то послідовність також рівномірно збігається на , її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.
Див. також Квазірівномірна збіжність Теорема Діні Теорема Єгорова
Література
Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.