Обернений елемент — одне з понять абстрактної алгебри.
Визначення
Нехай — множина з визначеною на ній бінарною операцією . Нехай — довільний елемент множини . Якщо справедливе рівняння
де , а — нейтральний елемент відносно операції , тоді називається правим оберненим щодо .
Аналогічним чином, якщо виконується:
тоді називається лівим оберненим до .
Елемент , що є правим і лівим оберненим до , себто такий, що:
називається просто оберненим щодо і позначається .
Елемент, для якого існує обернений елемент, називається оборотним.
Зауваження
Наведене вище визначення дане в мультиплікативній нотації. Якщо використовується аддитивна нотація , тоді оборотний елемент називається протилежним і позначається . Взагалі кажучи, один і той самий елемент може мати декілька правих обернених і декілька лівих обернених елементів і вони не зобов'язані перетинатися.
Властивості
Нехай операція асоціативна. Тоді якщо для елемента визначені ліві і праві обернені, то вони рівні і єдині.
Приклади
МножинаБінарна операціяОбернений елементДійсні числа (сума)Дійсні числа, що не дорівнюють нулю (множення) Функції виду (композиція функцій) (обернена функція)
Див. також
Група