У теорії груп, термін порядок використовується у двох тісно пов'язаних значеннях:
порядок групи — кардинальність множини елементів групи; порядок елемента a — найменше додатне число , таке, що (де e — нейтральний елемент групи). Якщо це число не існує, кажуть, що порядок є нескінченним.
Порядок групи G позначається (а також , , ), порядок елемента a — .
Приклад
Симетрична група , містить всі перестановки множини з трьох елементів. Її таблиця Келі має такий вигляд:
{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1" |- ! • ! e || s || t || u || v || w |- ! e | e || s || t || u || v || w |- ! s | s || e || v || w || t || u |- ! t | t || u || e || s || w || v |- ! u | u || t || w || v || e || s |- ! v | v || w || s || e || u || t |- ! w | w || v || u || t || s || e
Ця група складається з шести елементів, тож . За визначенням, порядок одиничного елемента e дорівнює 1. Елементи s, t і w в квадраті рівні e, отже їх порядок дорівнює 2. Порядок елементів u і v рівний 3.
Властивості
Два визначення пов'язані таким чином: якщо ми визначимо
підгрупу, породжену елементом a, то
Тож можна дати еквівалентне визначення порядку елемента, як порядку найменшої групи, що містить даний елемент. Група порядку 1 називається тривіальною групою. Якщо елемент групи має порядок 1, він є одиничним. Якщо кожен елемент групи G окрім одиничного має порядок 2, то G є абелевою групою: ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba. Зворотне твердження невірне, бо, наприклад, циклічна група є комутативною групою, але елемент 2 має порядок 3 (2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6)).
Для будь-якого a , ak = e, якщо і тільки якщо , тобто порядок елементу ділить k.
Порядок будь-якої підгрупи групи G ділить порядок G, так що порядок будь-якого елементу в групі є дільником порядку групи.
У конкретному випадку існує зворотна теорема: якщо G скінченна група, число d є простим і ділить порядок групи G, то у групі G існує елемент порядку d. Якщо порядок елемента a є нескінченним, то порядок кожного степеня a, є також нескінченним. Якщо порядок a скінченний, то виконується рівність: Ord(ak)=Ord(a)/НСД(Ord(a), k)
Джерела
Українською
Іншими мовами