Нільпотентний елемент або нільпотент — елемент кільця, що задовольняє рівності для деякого натурального . Мінімальне значення , для якого справедлива ця рівність, називається індексом нільпотентності елементу .
Приклади
У кільці лишків за модулем , де — деяке просте число, клас лишків числа — нільпотент індексу , Матриця
є нільпотентом індексу у кільці -матриць.
Властивості
Якщо — нільпотентний елемент індексу n, то справедлива рівність: , тобто елемент оборотний і обернений до нього елемент записується у вигляді многочлена від . Сума двох нільпотентних елементів, що комутують між собою є нільпотентом.
Нехай деяке кільце, a два комутуючі між собою нільпотентні елементи. Нехай такі, що і . З комутативності і можна використати формулу бінома Ньютона для :
При маємо , тоді і доданки, що відповідають тим індексам рівні нулю. Однак при , одержується . Тобто всі доданки є нульовими і є нільпотентним елементом. Всі нільпотентні елементи комутативного кільця утворюють ідеал , що називається нільрадикалом кільця збіжний з перетином всіх простих ідеалів. Кільце вже не має нільпотентних елементів, відмінних від нуля. В попередньому пункті доводиться, що нільрадикал є замкнутим щодо операції додавання. Якщо — деякий елемент кільця і — елемент нільрадикалу такий, що , тоді тобто , що доводить твердження. Доведення того, що нільрадикал рівний перетину всіх протих ідеалів дано в статті «Простий ідеал». При інтерпретації комутативного кільця як кільця функцій на просторі його спектрі нільпотентам відповідають функції, тотожно рівні нулю.
Див. також Нільпотентний ідеал Нільпотентна матриця Нільрадикал Уніпотентний елемент
Література
Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0