Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних галузях математики — топологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.
Визначення
Нехай — деяка множина, а - сім'я всіх його підмножин. Тоді є топологією, що називається дискретною топологією, а пара називається дискретним топологічним простором. Нехай - метричний простір, де метрика визначена так:
Тоді називається дискре́тною ме́трикою, а весь простір називається дискретним метричним простором.
Зауваження
Топологія, що індукується дискретною метрикою, є дискретною. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Метрика, що не є дискретною, може породжувати дискретну топологію.
Приклади
Нехай де , і - дискретна метрика на . Тоді - дискретний метричний, а отже і топологічний простір. Нехай и Очевидно, задана метрика не дискретна. Проте, вона породжує дискретну топологію.
Властивості
Ця топологія є найсильнішою топологією на множині . Довільна підмножина є одночасно відкритою і замкненою. Кожна точка простору ізольована в . Кожне відображення з дискретного простору неперервне. Дискретна топологія породжується дискретною метрикою. Тому дискретний простір цілком нормальний. Одноточкові множини дискретного топологічного простору утворюють його базу. Дискретний простір сильно локально компактний, задовольняє першу аксіому зліченності та паракомпактний. Дискретний топологічний простір компактний тоді і тільки тоді, коли він скінченний. Дискретний простір σ-компактний, ліндельофів, задовольняє другу аксіому зліченності і сепарабельний в тому й лише в тому разі, коли він не більш ніж зліченний. Скінчений дискретний простір має всі потужністні характеристики. Дискретний простір є повним метричним простором другої категорії. локально зв’язний і локально лінійно зв’язний. Якщо містить більше однієї точки, то він не зв’язний, а отже не лінійно зв’язний і не дугово зв’язний. Дискретна топологія породжується дискретною рівномірністю, яка складається з усіх підмножин декартового квадрату , що містять його діагональ. Ця діагональ є базою цієї рівномірності. Будь-які два дискретні топологічні простори, що мають однакову потужність гомеоморфні. Будь-яка дискретна підмножина евклідового простору є не більше ніж зліченною.
Див. також Антидискретна топологія Топологічний простір
Література Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968 Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968