Алгебричне розширення — розширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є коренем.
Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.
Властивості
Всі скінченні розширення алгебричні. Для всіх трансцендентних елементів елементи є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.
Для вежі полів , розширення — алгебричне, тоді й лише тоді коли та є алгебричними. Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a1…an з L. Оскільки всі ці ai алгебричні над K, то розширення K(a1,…an) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a1,…an) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.
Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел , а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел , то одержимо поле алгебраїчних чисел A.
Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.
Приклади
Розширення , тобто поле дійсних чисел як розширення раціональних чисел є трансцендентним. Дійсно множина алгебричних чисел є зліченною, а потужність множини дійсних чисел — континуум. Розширення є алгебричним розширенням.
Див. також Степінь трансцендентності
Література
J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: Springer, 2006, ISBN 1852339861.