Клас еквівалентності елемента множини за заданим на цій множині відношенням еквівалентності є підмножина множини , що складається з елементів еквівалентних :
Класи еквівалентності між елементами структур часто використовуються для отримання меншої структури, елементами якої є класи. Зв'язок кожного елемента класу поділяється принаймні з одним іншим елементом іншого класу. Клас можна вважати тотожністю одного з оригінальних елементів.
Властивості Множина всіх класів еквівалентності множини називається фактор-множиною і є розбиттям множини
Кожен елемент з є членом класу еквівалентності . Кожні два класи еквівалентності і або дорівнюють, або не перетинаються. Таким чином, множина всіх класів еквівалентності утворює розбиття множини : кожен елемент належить одному і тільки одному класу еквівалентності. , тоді і тільки тоді, коли і належать до одного і того ж самого розділу множини. З властивостей відношення еквівалентності випливає, що , тоді і тільки тоді, коли . Іншими словами, якщо є відношення еквівалентності на множині , то ці твердження еквівалентні:
.
Позначення і формальне визначення Відношення еквівалентності є бінарним відношенням, яке має три властивості: Для кожного елемента із , (рефлексивність), Для кожних двох елементів і з , якщо , то і (симетрія) Для кожних трьох елементів , і з , якщо і , то (транзитивність). Клас еквівалентності елемента позначається і може визначатися як множина.
Альтернативне позначення може бути використане для позначення класу еквівалентності елемента зокрема у відношенні . Це називається -класу еквівалентність. Множина всіх еквівалентних класів в даного відношення еквівалентності позначається як і називається фактор-множина на ~. Кожне відношення еквівалентності має канонічну проєкцію, сюр'єктивну функцію з де задано .
Приклади Якщо є множиною всіх автомобілів, і є відношенням еквівалентності «має той же колір», то кожен клас еквівалентності складається з автомобілів однакового кольору. Наприклад, всі зелені автомобілі належать одному класу. Кількість класів дорівнює числу всіх кольорів автомобілів.
Розглянемо відношення еквівалентності на множині цілих чисел: , тоді і тільки тоді, коли їх різниця парне число. Це співвідношення призводить до двох класів еквівалентності: один клас, що складається з усіх парних чисел, та другий, який складається з усіх непарних чисел. Клас парних чисел позначається, як , непарних як . Згідно з цим співвідношенням , , та належать одному класу — .
Нехай множина впорядкованих пар цілих чисел , де не дорівнює нулю, і характеризує відношення еквівалентності на . Відповідно до якого , тоді і тільки тоді, коли . Класу еквівалентності пари можна поставити у відповідність раціональне число , таким чином, це відношення еквівалентності і його класи еквівалентності можуть бути використані як формальне визначення множини раціональних чисел. Наприклад, еквівалентним парам , , , відповідає рівність дробів .
Відношення рівності за модулем () на множині цілих чисел є відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності Нехай дане число де Тоді всяку групу цифр називають класом. Група цифр — перший клас (клас одиниць), — другий клас (клас тисяч) тощо. Нехай є підгрупою групи У групі діє закон еквівалентності: якщо . Виникає клас суміжності групи по групі .
Факторизація відображень Відображення
називається природним відображенням (або канонічної проєкцією) на фактор-множину . Нехай , — множини, - відображення, тоді бінарне відношення визначене правилом
є відношенням еквівалентності на . При цьому відображення індукує відображення , яке визначається правилом
або, що те ж саме, . При цьому виходить факторизація відображення на сюр'єктивне відображення і ін'єктивне відображення .
Див. також Фактор-множина Фактор-структура Теореми про ізоморфізми
Джерела