Многочлен поділу кола — многочлен, що має вигляд:
де — первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться за всіма такими коренями. Степінь многочлена — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.
Властивості
Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:
де добуток береться за всіма додатними дільниками d числа n, включно зі самим n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени шляхом ділення многочлена на добуток усіх :
При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P, а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.
Якщо n=pm — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:
Зокрема для m = 1:
Для многочлена можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:
Наприклад:
Над полем раціональних чисел усі многочлени є незвіднимиДля доведення див. Е. Артін, Теорія Галуа с. 64-66, але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків за модулем 11 виконується рівність:
Рівняння поділу кола Рівняння , що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням поділу кола. У випадку числових полів розв'язок цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:
де дріб нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язування в радикалах рівняння поділу кола тісно пов'язане із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею поділу кола на n рівних частин, а саме, задача поділу кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля та лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння розв'язується в квадратних радикалах.
Приклади
Примітки
Джерела