Однорідна функція

Однорі́дна фу́нкція () ступеня — числова функція така, що для будь-якого та виконується рівність:

причому називають порядком однорідності.

Розрізняють також додатно однорідні функції, для яких рівняння виконується тільки для додатних () абсолютно однорідні функції для яких виконується рівняння    

Властивості Якщо функція є многочленом від змінних, тоді вона буде однорідною функцією степеню тоді і тільки тоді, коли — однорідний многочлен степеню , зокрема в цьому випадку має бути цілим. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена:     Лема Ейлера. Однорідні функції пропорційні скалярному добутку свого градієнта на вектор своїх змінних з коефіцієнтом, що дорівнює порядку однорідності:    Доводиться диференціюванням рівняння (*) по при .

Теорема Ейлера Теорема Ейлера про однорідні функції стверджує, що однорідна функція порядку є розв'язком такого рівняння з частинними похідними:

І навпаки, розв'язком такого рівняння є деяка однорідна функція.

Доведення

Позначимо та .

Щоб довести формулу застосуємо ланцюгове правило диференціювання до по відношенню до а потім спрямуємо до .

Щоб довести зворотнє, проінтегруємо диференціальне рівняння:

Це лінійне диференціальне рівняння має розв'язок Тому .

Див. також Однорідне рівняння Ізотопність Неперервна функція

Посилання