Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат , де — відстань до початку координат, а і — зенітний та азимутальний кути відповідно.
Поняття зеніту і азимута Поняття зеніт і азимут широко використовують в астрономії. Взагалі зеніт — це напрямок вертикального підйому над довільно обраним пунктом (точкою спостереження), що належить до так званої . За фундаментальну площину в астрономії можуть обирати площину, в якій лежить екватор, площину, в якій лежить горизонт, площину екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут — кут між довільно обраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.
На наведеному рисунку сферичної системи координат, фундаментальна площина — це площина xy. Зеніт — якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховують від осі X до проєкції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може слугувати узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.
Визначення Три координати визначені як: — відстань від початку координат до заданої точки . — кут між віссю і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку . — кут між віссю і проєкцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою , на площині .
Кут називають зенітним, або полярним, або нормальним, , а кут — азимутальним. Кути і не мають значення при , а не має значення при (тобто при або ).
Залежно чи незалежно від стандарту (), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута , використовують кут між проєкцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює — . Його називають кутом підйому і можуть позначувати тією ж буквою . В цьому випадку він змінюватиметься в межах .
Тоді кути і не мають значення при , так само як і в першому випадку, а не має значення при , так само як і в попередньому випадку, (але вже при або ).
Перехід до інших систем координат Декартова система координат Від сферичних до декартових:
Від декартових до сферичних:
(тут, звісно, потрібне уточнення для значень поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна відповідною формулою з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати ). Модуль якобіана перетворення від сферичних до декартових координат:
Циліндрична система координат Від сферичних до циліндричних:
Від циліндричних до сферичних:
Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:
Диференціальні характеристики Сферичні координати ортогональні, тому метричний тензор набуває діагонального вигляду:
Квадрат диференціала довжини дуги:
Коефіцієнти Ляме:
Символи Крістофеля :
Інші дорівнюють нулю.
Див. також Системи небесних координат
Джерела