Тесеракт Проєкція 4-вимірного куба на тривимірний простір Натисніть тут, щоб подивитися обертання проєкціїТипПравильний 4-політопВластивостіОпуклий, рівносторонній,однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивний, зонотоп, політоп ГаннераКомбінаторикаЕлементи8 КомірокТривимірні куби {4,3} — 24 ГранейКвадрати {4} — 32 РеберВідрізки — 16 ВершинТочки (4-го степеня)Характеристика ЕйлераВершинна фігура Правильний тетраедр {3,3} з довжиною сторони Реберна фігура Правильний трикутник {3}24 змішаних {8}–{4} -кутниківКласифікаціяСимвол ШлефліЯк кубічна призма: t0,3{4,3,2} або {4,3}×{ } Як 4-4 : t0,2{4,2,4} або {4}×{4} t0,2,3{4,2,2} або {4}×{ }×{ } Як 4-кубоїд:t0,1,2,3{2,2,2} або { }×{ }×{ }×{ } ={ }4Діаграма Коксетера — Динкіна (або x4o3o3o) — як кубічна призма — як 4-4 — як 4-кубоїдГрупа КоксетераB4 , [3,3,4]Двоїстий багатогранник16-комірник
Тесеракт (від — «чотири промені») — чотиривимірний гіперкуб — аналог двовимірного квадрата та тривимірного куба в чотиривимірному просторі.
Інші назви: 4-Куб (4-Cube); 8-комірник (8-cell); (Правильний) октохор () (від —"вісім", а —"місце/простір"); Тетракуб (Tetracub); Гексадекахорон (Hexadecachoron); Гіперкуб (про будь-який аналог куба з більш ніж трьома розмірностями); Багато з цих назв описують його різні особливі властивості.
Згідно з Оксфордським словником, слово «tesseract» було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Гінтоном (1853—1907) в його книзі «Нова ера думки» (англ. ), в якій початково він писав це слово як «tessaract».
Тесеракт є одним з шести опуклих правильних політопів 4-вимірного простору.
Подібно до того, як периметр квадрата складається з чотирьох ребер, а поверхня куба — з шести квадратних граней, гіперповерхня тесеракта складається з восьми комірок, що мають форму тривимірного куба і перетинаються під прямим кутом.
При кожному ребрі тесеракта сходиться 3 тривимірних куба
Так само як і тривимірний куб, тесеракт можна розглядати як окремий випадок інших 4-вимірних багатогранників з меншою симетрією. Зокрема, тесеракт є окремим випадком кубічної призми, 4,4- та 4-вимірного паралелепіпеда або ортотопа .
4-Куб є мірним політопом чотиривимірного простору і є одиницею виміру гіпероб'єму в ньому, так само, як тривимірний куб з одиничним вимірами є одиницею виміру об'єму тривимірного простору, а одиничний квадрат є одиницею вимірювання площі.
4-Куб є зонотопом, тобто кожна його -вимірна грань, і він сам володіє центром симетрії. Тесерактами можна замостити 4-вимірний простір без проміжків та накладень.
Двоїстим політопом до 4-куба є 16-комірник, символ Шлефлі якого {3,3,4}
Геометрія Звичайний тесеракт в Евклідовому чотиривимірному просторі означається як опукла оболонка точок (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Інакше кажучи, він може бути представлений у наступному вигляді:
Тесеракт обмежений вісьмома гіперплощинами , перетин яких із самим тесерактом задає його тривимірні грані (є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні межі (квадрати), і так далі. Остаточно, тесеракт володіє 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами і 16 вершинами.
Переріз 4-куба гіперплощиною, паралельною до його 3-D краю є тривимірним кубом. Тобто 4-куб складається з нескінченної множини тривимірних кубів, які є перерізами від його перетину паралельними гіперплощинами між двома протилежними краями.
Аналогічно до того, як в тривимірному кубі перерізом при перетині його площиною, паралельною одній з граней, є плоский квадрат; і таких плоских перерізів між двома паралельними гранями куба є безліч.
Як правильний 4-політоп, тесеракт має символ Шлефлі {4,3,3} з порядку 384.
Тесеракт можна розглядати як окремий випадок інших 4-вимірних багатогранників з меншою симетрією.
Він є окремим випадком 4- призми, основою якої є тривимірний куб, а бічні сторони також є кубами (кубічна призма). В цьому випадку два паралельні куби, сполучено 6 квадратними призмами (сторонами), тобто політоп є декартовим добутком тривимірної призми та одновимірного відрізку, і має символ Шлефлі {4,3}×{ } та діаграму Коксетера — Динкіна . Має симетрію порядку 96.
Як окремий випадок 4-4 , тесеракт є декартовим добутком двох двовимірних квадратів, має символ Шлефлі {4}×{4} та діаграму Коксетера — Динкіна . Має симетрію порядку 64.
Як окремий випадок 4-кубоїда (4-вимірного паралелепіпеда або ортотопа ) тесеракт є декартовим добутком чотирьох одновимірних відрізків, його можна представити символом Шлефлі { }×{ }×{ }×{ } ={ }4 та діаграмою Коксетера — Динкіна . Має симетрію порядку 16.
Тесеракт може бути розкладений на менші 4-політопи. Він є опуклою оболонкою сполуки (з'єднання) двох (16-коміркових). Його також можна розбити на 4-вимірні симплекси (неправильні 5-комірники), які мають спільні вершини з тесерактом. Відомо, що існує 92487256 таких тріангуляцій і що найменша кількість 4-вимірних симплексів у будь-якій з них дорівнює 16.
Оскільки в кожній вершині тесеракта сходяться чотири ребра, його вершинною фігурою є правильний тетраедр.
Кількість способів розфарбувати тесеракт, щоб комірки мали різні кольори дорівнює 8!/192 = 210 : група кольорів є групою перестановок з 8 елементів і має розмір 8!, тоді як порядок чистої обертової симетрії тесеракта дорівнює 192 (половина від повної симетрії, тобто 384 елементів).
Формули
Для 4-вимірного гіперкуба, довжина ребер якого дорівнює : Радіус вписаної гіперсфери (4D)(торкається комірок в їх центрах)Діагональ між вершинами граніРадіус напіввписаної сфери(торкається граней в їх центрах)Діагональ між вершинами коміркиРадіус напіввписаної сфери(торкається ребер в їх серединахах)Діагональ політопа (4D)(найдовша діагональ між вершинами,діаметр тесеракта)Радіус описаної гіперсфери (4D)(проходить через всі вершини)Площа поверхні (2D)(2D площа всіх граней)Гіперплоща поверхні (3D)(3D об'єм всіх комірок)Двогранний кут між гранями (радіан)Гіпероб'єм (4D)Кут між комірками (радіан)
Точка в 4-вимірному просторі Нехай описана сфера тесеракта має радіус R. Нехай дано довільну точку в 4-вимірному просторі і відстані від неї до вершин 4-куба дорівнюють di. Тоді виконується рівність:
Декартові координати вершин Декартові координати 16-ти вершин тесеракта з довжиною ребра , центр якого знаходиться в початку координат, мають значення:
При цьому 4-куб буде зорієнтовано паралельно координатним осям.
Популярний опис
Побудову гіперкубів можна уявити наступним чином: 1-вимірний куб (відрізок): Дві точки A і B можна з'єднати в один відрізок AB довжиною . 2 вершини // 1 ребро 2-вимірний куб (квадрат): На двовимірній площині паралельно до відрізка AB на відстані від нього проведемо відрізок CD і з'єднаємо їх кінці. Утворився квадрат ACDB. 4 вершини // 4 ребра // 1 грань 3-вимірний куб (куб): В тривимірному просторі розмістимо два паралельні квадрати ABCD і EFGH на відстані один від одного. З'єднаємо відповідні вершини відрізками і отримаємо тривимірний куб ABCDEFGH. 8 вершин // 12 ребер // 6 граней // 1 об'єм (комірка) 4-вимірний куб: Зсунувши тривимірний куб в четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань , ми отримаємо гіперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM. Однак таке паралельне розміщення двох кубів, при якому 8 відповідних пар вершин розділені відстанню , може бути досягнуто лише у просторі 4-х або більше вимірів. 16 вершин // 32 ребра // 24граней // 8 комірок // 1 4D-об'єм
Одновимірний відрізок АВ служить стороною двовимірного квадрата CDBA, квадрат — стороною куба CDBAGHFE, який, в свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямої має дві граничні точки, квадрат — чотири вершини, куб — вісім. В чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра — по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер «намалюють» вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від переміщення квадрата і ще чотири опишуть його збоку). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба в двох положеннях і 12 квадратів від дванадцяти його ребер.
Як сторонами квадрата є 4 одновимірних відрізки, а сторонами (гранями) куба є 6 двомірних квадратів, так і для «чотиривимірного куба» сторонами є 8 тривимірних кубів.
Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшого числа вимірів, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, жителів тривимірного простору, буде виглядати чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим шляхом аналогій.
Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимося на нього одним оком з боку межі. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрата (ближню і дальню його межі), з'єднані чотирма лініями — бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічних «ящики», вставлених один в одного і з'єднаних вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» — тривимірні грані — будуть проєктуватися на «наш» простір, а лінії, які їх з'єднують, простягнуться в напрямку четвертої осі.
Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів. Розгортка тесеракта Аналогічно тому, як поверхню куба можна розгорнути у двовимірний багатокутник, що складається з шести квадратів, поверхню тесеракта можна розгорнути у тривимірне тіло, що складається з восьми кубів (октокуб).
Існує 261 розгортка тесеракта.
Розгортки 4-куба можуть бути знайдені перерахуванням «здвоєних дерев», де «здвоєне дерево» (paired tree) — це дерево з парним числом вершин, які розбиті на пари так, що жодна пара не складається з двох суміжних вершин. Між «здвоєними деревами» з 8 вершинами і розгортками тесеракта існує взаємно однозначна відповідність. Всього існує 23 дерева з 8 вершинами, при розбитті вершин яких на пари несуміжних вершин виходить 261 «здвоєне дерево» з 8 вершинами.
Всі тривимірні розгортки тесеракта замощують тривимірний простір без проміжків та накладень. Тобто кожна з них може утворювати стільник.
Однією з розгорток тесеракта є розгортка, що імітує розгортку тривимірного куба в латинський хрест: вона складена з чотирьох кубів поєднаних квадратними гранями один поверх одного та ще з чотирьох кубів, прикріплених до вільних квадратних граней другого зверху куба; в результаті формується тривимірний подвійний хрест. Сальвадор Далі використовував цю форму в його праці «Розп'яття» (1954). На честь Далі, цей октокуб був названий хрест Далі..
У оповіданні Роберта А. Гайнлайна «І побудував він будинок» каліфорнійський архітектор Квінтус Тіл будує восьмикімнатний дім у формі розгортки гіперкуба, який під час землетрусу складається в чотиривимірний тесеракт.
Граф тесеракта В теорії графів граф тесеракта — це граф з 16 вершинами та 32 ребрами, що має кістяк 4-куба.
Всі 18 вершин графа мають степінь 4, а отже, граф є графом 4-го степеня (англ. quartic).
Цей граф є окремим випадком графа гіперкуба.
Спектр графа :
Граф є двочастковими — його вершини можна розфарбувати тільки двома кольорами.
Гамільтонові цикли Граф тесеракта є гамільтоновим та ейлеровим, тобто має гамільтонові та ейлерові цикли. Гамільтонів цикл — замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз. Гамільтонів шлях між вершинами U, V існує тоді і тільки тоді, коли u и v мають різні кольори в двокольоровому розфарбуванні графа.
Інші властивості Граф гіперкуба Q4 :
є діаграмою Хассе кінцевої булевої алгебри; є транзитивним щодо дуг та симетричним; містить всі цикли довжини 4, 6, 8 і тому є біпанциклічним графом; може бути зображений як граф одиничних відстаней на евклідовій площині шляхом вибору одиничного вектора для кожного елемента множини і розміщення кожної вершини, відповідно множини S, як суму векторів із S; є вершинним 4-зв'язним графом за ;