Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа позначається . У загальному випадку, спряженим до числа
де та — дійсні числа, є
Наприклад,
На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд та , що безпосередньо випливає з формули Ейлера.
Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.
Властивості Для довільних комплексних чисел та :
є дійсним числом
для всіх цілих
, (тобто, спряження є інволюцією)
, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.
Якщо є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено , то
Зокрема:
, якщо z не дорівнює нулю. Якщо — поліном з дійсними коефіцієнтами і , то також . Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.
Визначення координат числа та спряження Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:
(якщо z не дорівнює нулю).
Див. також Ермітово-спряжена матриця
Примітки
Джерела