Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.
Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.
Границя послідовності
Стале число називають границею послідовності , якщо для кожного додатного числа , скільки б малим воно не було, існує такий номер , що всі значення , в яких номер , задовольняють нерівність
Той факт, що є границею послідовності, позначають так: або просто чи . Номер залежить від вибору числа . При зменшенні число буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени послідовності до вимагати, тим більші значення їх індексів.
Границя функції
Нехай , причому , і — гранична точка множини . Надалі будемо розглядати функції .
Означення за Коші Число називається границею функції в точці , якщо для кожного додатного числа існує додатне число таке, що для довільного виконується нерівність
Позначення:
або при .
Під і можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані до граничної точки.
Означення за Гейне Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .
Наприклад,
.
Як видно не визначено, але коли наближається до 1, то відповідно наближається до 2:
Таким чином, можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши досить близьким до 1. Тобто
Це також можна обчислити алгебраїчно як для всіх дійсних чисел .
Оскільки визначене при , то можна підставити 1 замість , що приведе до рівності
На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію
, для якої
Коли x стає надзвичайно великим, значення наближається до 2, а значення можна наблизити до 2, зробивши достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя при , що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі
Обчислюваність границі Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границіRecursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I..
Див. також
Границя функції в точці Одностороння границя: будь-яка з двох границь функції дійсної змінної , коли прямує до точки зліва або справа Список границь: список границь поширених функцій Стискна теорема: знаходить границю функції шляхом порівняння її з двома іншими функціями Верхня і нижня границі Швидкість збіжності Асимптотичний аналіз: метод опису граничної поведінки Нотація Ландау: використовується для опису граничної поведінки функції, коли аргумент прямує до певного значення або нескінченності Фундаментальна послідовність Повний метричний простір Рівномірна збіжність Збіжність майже всюди Збіжність за мірою Збіжність випадкових величин Границя в теорії категорій Індуктивна границя Проєктивна границя Межа (значення)
Джерела
Примітки