Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.
Означення
Випадкова величина називається безмежно подільною, якщо для будь-якого вона може бути представлена у виді
де - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.
Властивості безмежно подільних розподілів
Характеристична функція безмежно подільної випадкової величини має вид: .
Канонічні представлення безмежно подільних розподілів Формула Колмогорова
Нехай - характеристична функція безмежно подільного розподілу на , який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція , така що , і
де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.
Формула Леві - Хінчина
Нехай - характеристична функція безмежно подільного розподілу на . Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації , така що
Приклади
Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.
Нехай задано ймовірнісний простір , де
для деякого . Тоді випадкова величина , що має вид
не є безмежно подільною.
Безмежно подільний розподіл на локально компактних абелевих групах
Розподіл на локально компактній абелевій групі називається безмежно подільним, якщо для кожного натурального існує елемент і розподіл на такий, що , де --- вироджений розподіл, зосереджений в (див. Партасарати К. Р., Ранга Рао Р., Варадхан С. Р. С. Распределения вероятностей на локально компактных абелевых группах // Математика. — 1965. — Т. 9, № 2. (Probability distributions on locally compact Abelian groups // Illinois Journal of Mathematics. — 1963. — Vol. 7. — P. 337–369.) та Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces. — New York; London: Academic Press, 1967.). Це означення дещо відрізняється від класичного означення безмежно подільного розподілу на дійсній прямій.
Прикладами безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах є вироджені розподіли, розподіли Хаара на компактних підгрупах, розподіли Гауса, узагальнені розподіли Пуассона.
Аналог формули Леві—Хінчина для безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах було отримано в , див. також .
Примітки
Джерела