Інтегрування частинами — спосіб знаходження інтеграла, заснований на правилі добутку.
Для підінтегральної функції, що подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), справедливі формули:
для невизначеного інтеграла:
для визначеного:
Передбачається, що знаходження інтеграла простіше, ніж . У іншому випадку застосування методу не виправдане.
Одержання формул
Для невизначеного інтеграла Функції і гладкі, отже, можливе диференціювання:
Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:
Операція інтегрування протилежна диференціюванню:
Після перестановок:
Для визначеного У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:
Приклади
Іноді цей метод застосовується кілька разів:
Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:
У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:
У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:
Вирішивши отриману систему, одержуємо:
Див. також Методи інтегрування
Джерела