Збіжність в в функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах — вид збіжності вимірних функцій або випадкових величин.
Визначення
Нехай — простір з мірою. Тоді простір вимірних функцій, таких что їх -та степінь, де , інтегровна за Лебегом, є метричним. Метрика в цьому просторі має вигляд: .
Нехай дана послідовність . Тоді кажуть, що ця послідовність збігається в до функції , якщо вона збігається в метриці, визначеній вище, тобто . Пишуть: .
У термінах теорії ймовірностей, послідовність випадкових величин збігається до з того ж простору, якщо . Пишуть: .
Термінологія
Збіжність в просторі називається збіжністю в середньому. Збіжність в просторі називається збіжністю в середньоквадратичному.
Властивості збіжності в
Єдиність границі. Якщо и , то -майже всюди (-майже напевно).
Простір повний. Якщо при , то існує , такий що .
Із збіжності в випливає збіжність за мірою (за ймовірністю). Якщо , то .
Джерела