Ґратка з діленням — алгебраїчна структура в теорії ґраток, що одночасно є ґраткою x ≤ y та моноїдом x•y, яка дозволяє операції x\z та z/y, що є аналогами ділення чи імплікації, якщо розглядати x•y як множення чи кон'юнкцію, відповідно.
Прикладами ґраток з діленням є булеві алгебри, булеві алгебри з діленням, алгебри Гейтінга, MV-алгебри.
Визначення
Ґратка з діленням така алгебраїчна структура, що: — ґратка — моноїд Для всіх z виконується: існує для кожного x таке найбільше y, та існує для кожного y таке найбільше x, що x•y ≤ z (властивість ділення).
В (3), таке «найбільше y», залежить від z та x, позначається x\z та називається права частка z по x. Двоїстим поняттям є «найбільший x» позначається z/y та називається ліва частка z по y.
Перепишемо (3) еквівалентно: 3'.
Для фіксованого x в L, унарні операції x• та x\ є відповідно нижнім та верхнім спряженням в відповідності Галуа на L, дуально це також справедливо і для функцій •y та /y. Тому існує інше визначення, а саме:
разом з вимогою монотонності x•y по x та по y. (З аксіом (3) чи (3') монотонність виводиться, але nen її потрібно вводити окремою аксіомою.) Тепер можна розглядати x• та x\ як псевдообернення чи спряження один до одного, а також •x до /x.
Аксіома монотонності теж може бути записана через нерівність
І навпаки, нерівність може бути записана як чи Тому перейшовши до визначення ґратки через тотожності отримаємо іншу сигнатуру
Приклади Булеві алгебри та алгебри Гейтінга є комутативними ґратками з діленнямв яких x•y = x∧y (тому одиниця множення e збігається з максимальним елементом 1) та обидва ділення x\y та y/x є однією операцією, а саме імплікацією x → y.
Див. також Відповідність Галуа
Джерела
Ward, Morgan, and Robert P. Dilworth (1939) "Residuated lattices," Trans. Amer. Math. Soc. 45: 335-54. Reprinted in Bogart, K, Freese, R., and Kung, J., eds. (1990) The Dilworth Theorems: Selected Papers of R.P. Dilworth Basel: Birkhäuser.