Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого
Запис
Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:
Тоді за формулою Муавра
одержимо:
Тут — корені з одиниці.
Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:
З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна , і всі вони різні.
Властивості
Геометричні властивості
Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця. Якщо — корінь з одиниці, то спряжене до нього число — теж корінь з одиниці.
Алгебраїчні властивості
Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа. Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці. Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків . Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент , індекс якого взаємно простий . Наслідки: елемент завжди є первісним; якщо — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім , охоплюють всю групу; число первісних коренів рівне , де — функція Ейлера. Якщо , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці має місце формула:
Приклади
Кубічні корені з одиниці:
Корені 4-го степеня з одиниці:
Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:
Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:
Див. також Група Прюфера Ікосіани Кругове поле Многочлен поділу кола Сума Гаусса
Джерела