Поліноміальна інтерполяція (Інтерполяція алгебраїчними многочленами) функції y=f(x) на відрізку [a, b] — побудова многочлена Pn(x) степеня меншого або рівного n, що приймає у вузлах інтерполяції x0, x1, ..., xn значення yі=f(xі):
Система рівнянь, що визначають коефіцієнти такого многочлена, має вигляд
Її визначником є визначник Вандермонда.
Він відмінний від нуля при всяких попарно різних значеннях xі, і інтерполяція функції f по її значеннях у вузлах xі за допомогою многочлена Pn(x) завжди можлива і єдина, але в залежності від завдання її зручно записувати різними формулами.
Застосування Отриману інтерполяційну формулу часто використовують для наближеного обчислення значень функції f при значеннях аргументу x, відмінних від вузлів інтерполяції. При цьому розрізняють інтерполяцію у вузькому значенні, коли , і екстраполяцію, коли ,
Формула Лагранжа
Функція може бути інтерпольована на відрізку інтерполяційним поліномом , записаним у формі Лагранжа:
Похибка інтерполяції:
У просторі дійсних неперервних функцій відповідні норми набирають вигляду:
Формула Ньютона
Якщо точки розташовані на рівних відстанях , поліном можна записати:
(тут , а — різниці k-го порядку: ).
Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення , що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від . Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень , близьких до .
При інтерполяції функцій для значень , близьких до , формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).
Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який -й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).
Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:
де — узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.
Інтерполяційна формула Стірлінга
(про значення символу зв'язку центральних різниць з різницями див. Кінцевих різниць числення)
Застосовується при інтерполяції функцій для значень , близьких до одного з середніх вузлів ; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів , вважаючи центральним вузлом .
Інтерполяційна формула Бесселя
Застосовується при інтерполяції функцій для значень , близьких середин між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів , і розташовувати їх симетрично щодо
Похибки інтерполяції
Інтерполюючи певну функцію f поліномом степеня у точках x0,...,xn ми отримуємо похибку
де
це розділена різниця.
Якщо f це раз неперервно диференційовна на закритому інтервалі I і це многочлен степеня не більше , що інтерполює f у відмінних точках {xi} (i=0,1,...,n) у цьому інтервалі. Тоді для кожного x в інтервалі існує у цьому інтервалі, таке що
Доведення Запишемо похибку як
і впровадимо допоміжну функцію:
де
Оскільки є коренями і , ми маємо , що означає, що і є коренями (тут ми маємо справу з певним x, для якого ми й шукаємо похибку). Із теореми Роля, має коренів, тоді має один корінь , тут перебуває в інтервалі .
Отже, ми можемо отримати
Оскільки це многочлен степеня не більше ніж , тоді
Отже
Із того, що є коренем , маємо
Відтак
.
Отже, залишковий член у формі Лагранжа теореми Тейлора це особливий випадок інтерполяційної похибки, коли інтерполяційні точки лежать на однаковій відстані .
У випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції , випливає, що інтерполяційна похибка є O. Однак, це має на увазі, що домінована , тобто . У деяких випадках відбувається зростання похибки з
Наведена помилка пропонує вибирати інтерполяційні точки так, щоб добуток
був якомога меншим. Таку властивість мають нулі поліномів Чебишова. Саме вони є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.
Переваги Для заданого набору точок і сітки параметра крива будується однозначно. Крива є інтерполяційною, тобто проходить через усі задані точки. Крива має безперервні похідні будь-якого порядку.
Недоліки З ростом числа точок порядок многочлена зростає, а разом з ним зростає число операцій, які потрібно виконати для обчислення точки на кривій. З ростом числа точок в інтерполяційної кривої можуть виникнути осциляції (див. приклад нижче).
Приклад осциляції
Класичним прикладом Рунге, що показує виникнення осциляцій в інтерполяційного многочлена, слугує інтерполяція на рівномірній сітці значень функції
Введемо на відрізку рівномірну сітку , , і розглянемо поведінку многочлена
який у точках приймає значення . На малюнку представлені графіки самої функції (штрих-пунктирна лінія) і трьох інтерполяційних кривих при : інтерполяція на сітці - квадратична парабола; інтерполяція на сітці - многочлен четвертого степеня; інтерполяція на сітці - многочлен восьмого степеня.
Значення інтерполяційного многочлена навіть для гладких функцій у проміжних точках можуть сильно ухилятися від значень самої функції.
Див. також Інтерполяція Ерміта Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона Інтерполяційна формула Гаусса Поліноми Чебишова Вейвлет
Примітки
Джерела