Ряди Ейзенштейна, названі на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна — спеціальні прості приклади модулярних форм, що задаються як сума явно виписаного ряду. Спочатку визначені для модулярної групи, ряди Ейзенштейна можуть бути узагальнені в теорії автоморфних форм.
Означення Ряд Ейзенштейна ваги — функція, визначена на верхній комплексній півплощині і задана як сума ряду
Цей ряд абсолютно збігається до голоморфної функції змінної .
Властивості Модулярність
Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги : для будь-яких цілих з маємо
Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і ґратки , продовживши його на весь простір ґраток:
Тоді Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису до базису тієї ж ґратки (що не змінює значення ) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.
Представлення модулярних форм Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги ) виражається як многочлен від і :
Зв'язок з еліптичними кривими -функція Вейєрштрасса еліптичної кривої розкладається в ряд Лорана в нулі як
Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні
Рекурентне співвідношення Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від і . Зокрема, вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від і . Нехай . Тоді задовільняють співвідношення
для всіх . Тут — біноміальний коефіцієнт і і .
Вираз трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса:
Ряди Фур'є
Означимо . (Деякі старі книжки визначають q як ном , але зараз в теорії чисел прийнято стандарт .) Тоді розклад коефіцієнтів рядів Ейзенштейна в Ряди Фур'є має вигляд
де коефіцієнти Фур'є задані як
.
Тут Bn — числа Бернуллі, ζ(z) — дзета-функція Рімана і σp(n) — сума дільників, сума p степенів дільників числа n. Зокрема, маємо
and
Зверніть увагу, що сума q може бути записана у формі вигляді рядів Ламберта; тобто, маємо
для довільного комплексного |q| ≤ 1 і a. Працюючи з q-розкладом рядів Ейзенштейна, часто вводяться альтернативні позначення .
Тотожності з рядами Ейзенштейна
Добутки рядів Ейзенштейна Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи Оскільки простір модулярних форм ваги має розмірність 1 для різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:
Використовуючи q-розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:
отже
і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:
для числа векторів квадратної довжини 2n у кореневій ґратці типу E8.
Див. також Майже ціле число
Література А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978: Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.