У теорії ймовірностей та статистиці t-розподіл чи t-розподіл Стьюдента — різновид розподілу ймовірностей, який виникає в задачі оцінення сподіваного значення нормально розподіленої популяції, коли розмір вибірки малий. Цей розподіл є основою популярного t-тесту Стьюдента статистичної значущості різниці математичних сподівань двох вибірок, та довірчого інтервалу різниці очікуваних значень двох вибірок. t-розподіл Стьюдента є також частковим випадком . Розроблений В. С. Госсетом (псевдонім «Стьюдент»).

Як розподіл Стьюдента виникає з вибірки Нехай X1, …, Xn — це незалежні випадкові величини з розподілу N(μ, σ2), тобто це вибірка розміру n з популяції з нормальним розподілом з середнім значенням μ і дисперсією σ2.

Нехай

буде середнім вибірки і нехай

буде (виправлена згідно з Бесселем) дисперсія вибірки. Тоді випадкова величина

має стандартний нормальний розподіл (тобто, з середнім 0 і дисперсією 1), а випадкова величина

(де ми підставили S замість σ) має t-розподіл Стьюдента з n − 1 ступенями вільності. Через те що ми замінили на єдина неспостережувана величина тут це отже ми можемо використати це, щоб знайти довірчі інтервали для Зауважте, що незважаючи на те, що вони базуються на тій самій вибірці чисельник і знаменник у попередньому виразі — незалежні випадкові величини. Це можна побачити спостерігши, що і згадавши, що і це дві лінійні комбінації тої самої множини н.о.р. нормально розподілених випадкових величин.

Означення

Щільність розподілу Т-розподіл Стьюдента має функцію щільності розподілу, що задається формулою

де  — кількість ступенів вільності,  — гамма-функція. Формула також може бути записана у вигляді

де B — бета-функція.

Для парних значень

Для непарних значень

Функція розподілу ймовірності Функція розподілу може бути записана в термінах I, регуляризованої неповна бета-функція. Для t > 0Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition. Wiley, ISBN 0-471-58494-0 (Chapter 28)

з

Інші значення отримуються симетрично. Альтернативна формула дійсна для t2 < ν, така

де 2F1 — певний випадок гіпергеометричної функції.

Особливі випадки Для певних значень параметра розподіл Стьюдента має просту форму.

Функція розподілу:

Функція щільності:

Див. Розподіл Коші

Функція розподілу:

Функція щільності:

Функція щільності:

Функція щільності:

Див. нормальний розподіл

Порівняння з нормальним розподілом Загалом щільність t-розподілу схожа на дзвоноподібну функцію щільності нормального розподілу, з тією відмінністю, що у t-розподілу вона трохи нижча і ширша. За кількості ступенів свободи, що прямує до нескінченості, t-розподіл прямує до нормального розподілу з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1.

На графіках нижче показано щільності t-розподілу для зростаючих значень параметру . Для порівняння, нормальний розподіл зображено синім. Можна помітити, що із збільшенням щільність t-розподілу наближається до нормального.

Таблиця вибраних значень

Наступна таблиця містить кілька вибраних значень цього розподілу, з r ступенями свободи для інтервалів певності 90 %, 95 %, 97,5 % та 99,5 %. Ці числа «односторонні», тобто коли ми бачимо «90%», «4 ступенів свободи», та «1.533»,

це означає це не означає

Тому, по симетрії розподілу, ми маємо

та в результаті

r 75 % 80 % 85 % 90 % 95 % 97.5 % 99 % 99.5 % 99.75 % 99.9 % 99.95 %11.0001.3761.9633.0786.31412.7131.8263.66127.3318.3636.620.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.0922.3331.6030.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.2112.9240.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.61050.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.140150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.850210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.690280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551500.6790.8491.0471.2991.6762.0092.4032.6782.9373.2613.496600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.460800.6780.8461.0431.2921.6641.9902.3742.6392.8873.1953.4161000.6770.8451.0421.2901.6601.9842.3642.6262.8713.1743.3901200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.6172.8603.1603.3730.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.5762.8073.0903.291

Наприклад, якщо ми маємо вибірку з варіацією 2 та середнім значенням 10, вибраним з набору 11 елементів (10 ступенів свободи), використовуючи формулу:

Ми можемо визначити що з 90-відсотковою впевненістю ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить в інтервалі:

Та, знову з 90 % впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поза інтервалом:

Так, з 80 % впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поміж:

Квантилі Квантилі розподілу Стьюдента (коефіцієнти ) — це числові характеристики, що широко використовуються в задачах математичної статистики, зокрема для побудови довірчих інтервалів і перевірки статистичних гіпотез.

Визначення Хай — функція розподілу Стьюдента з ступенями свободи, і . Тоді -квантилем цього розподілу називається число таке, що

.

Зауваження

З визначення випливає, що випадкова величина, що має розподіл Стьюдента з ступенями свободи, не перевищує значення з ймовірністю і перевищує його з ймовірністю . Функція строго зростає для будь-якого . Звідси визначена нею обернена функція , і

.

Функція не має простого представлення. Проте можливо обчислити її значення чисельно. Розподіл симетричний. Звідси

.

Таблиця квантилів Нижче наведена таблиця, що отримана за допомогою функції tinv пакету MATLAB. Щоб отримати значення , необхідно знайти рядок, що відповідає потрібному , і колонку, що відповідає потрібному . Шукане число знаходиться в таблиці на їх перетині. + Квантилі двобічний критерій1-0.9/21-0.8/21-0.7/21-0.6/21-0.5/21-0.4/21-0.3/21-0.2/21-0.1/21-0.05/21-0.02/2однобічний критерій1-0.91-0.81-0.71-0.61-0.51-0.41-0.31-0.21-0.11-0.051-0.0210.15840.32490.50950.72651.00001.37641.96263.07776.313812.706231.820520.14210.28870.44470.61720.81651.06071.38621.88562.92004.30276.964630.13660.27670.42420.58440.76490.97851.24981.63772.35343.18244.540740.13380.27070.41420.56860.74070.94101.18961.53322.13182.77643.746950.13220.26720.40820.55940.72670.91951.15581.47592.01502.57063.364960.13110.26480.40430.55340.71760.90571.13421.43981.94322.44693.142770.13030.26320.40150.54910.71110.89601.11921.41491.89462.36462.998080.12970.26190.39950.54590.70640.88891.10811.39681.85952.30602.896590.12930.26100.39790.54350.70270.88341.09971.38301.83312.26222.8214100.12890.26020.39660.54150.69980.87911.09311.37221.81252.22812.7638110.12860.25960.39560.53990.69740.87551.08771.36341.79592.20102.7181120.12830.25900.39470.53860.69550.87261.08321.35621.78232.17882.6810130.12810.25860.39400.53750.69380.87021.07951.35021.77092.16042.6503140.12800.25820.39330.53660.69240.86811.07631.34501.76132.14482.6245150.12780.25790.39280.53570.69120.86621.07351.34061.75312.13142.6025160.12770.25760.39230.53500.69010.86471.07111.33681.74592.11992.5835170.12760.25730.39190.53440.68920.86331.06901.33341.73962.10982.5669180.12740.25710.39150.53380.68840.86201.06721.33041.73412.10092.5524190.12740.25690.39120.53330.68760.86101.06551.32771.72912.09302.5395200.12730.25670.39090.53290.68700.86001.06401.32531.72472.08602.5280210.12720.25660.39060.53250.68640.85911.06271.32321.72072.07962.5176220.12710.25640.39040.53210.68580.85831.06141.32121.71712.07392.5083230.12710.25630.39020.53170.68530.85751.06031.31951.71392.06872.4999240.12700.25620.39000.53140.68480.85691.05931.31781.71092.06392.4922250.12690.25610.38980.53120.68440.85621.05841.31631.70812.05952.4851260.12690.25600.38960.53090.68400.85571.05751.31501.70562.05552.4786270.12680.25590.38940.53060.68370.85511.05671.31371.70332.05182.4727280.12680.25580.38930.53040.68340.85461.05601.31251.70112.04842.4671290.12680.25570.38920.53020.68300.85421.05531.31141.69912.04522.4620300.12670.25560.38900.53000.68280.85381.05471.31041.69732.04232.4573310.12670.25550.38890.52980.68250.85341.05411.30951.69552.03952.4528320.12670.25550.38880.52970.68220.85301.05351.30861.69392.03692.4487330.12660.25540.38870.52950.68200.85261.05301.30771.69242.03452.4448340.12660.25530.38860.52940.68180.85231.05251.30701.69092.03222.4411350.12660.25530.38850.52920.68160.85201.05201.30621.68962.03012.4377360.12660.25520.38840.52910.68140.85171.05161.30551.68832.02812.4345370.12650.25520.38830.52890.68120.85141.05121.30491.68712.02622.4314380.12650.25510.38820.52880.68100.85121.05081.30421.68602.02442.4286390.12650.25510.38820.52870.68080.85091.05041.30361.68492.02272.4258400.12650.25500.38810.52860.68070.85071.05001.30311.68392.02112.4233410.12640.25500.38800.52850.68050.85051.04971.30251.68292.01952.4208420.12640.25500.38800.52840.68040.85031.04941.30201.68202.01812.4185430.12640.25490.38790.52830.68020.85011.04911.30161.68112.01672.4163440.12640.25490.38780.52820.68010.84991.04881.30111.68022.01542.4141450.12640.25490.38780.52810.68000.84971.04851.30061.67942.01412.4121460.12640.25480.38770.52810.67990.84951.04831.30021.67872.01292.4102470.12630.25480.38770.52800.67970.84931.04801.29981.67792.01172.4083480.12630.25480.38760.52790.67960.84921.04781.29941.67722.01062.4066490.12630.25470.38760.52780.67950.84901.04751.29911.67662.00962.4049500.12630.25470.38750.52780.67940.84891.04731.29871.67592.00862.40331000.12600.25400.38640.52610.67700.84521.04181.29011.66021.98402.364210000.12570.25340.38540.52460.67470.84201.03701.28241.64641.96232.3301

Приклад

.

Література

«Student» (W.S. Gosset) (1908) The probable error of a mean. 6(1):1-25. M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. (See Section 26.7.) R.V. Hogg and A.T. Craig (1978) Introduction to Mathematical Statistics. New York: Macmillan.

Посилання VassarStats Density plot, critical values, etc., calculated for a user-specified number of d.f. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term «Student's distribution») Distribution Calculator Calculates probabilities and critical values for normal, t-, chi2- and F-distribution New Methods for Managing «Student's» T Distribution Surveys techniques for sampling with new techniques using the inverse CDF directly

tinv пакету MATLAB. stdtrit пакету Scipy

Див. також Статистика Теорія ймовірностей

Примітки