Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції і голоморфні в однозв'язній області , а на контурі також виконується строга нерівність , то в області функції і мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.
Доведення З нерівності випливає, що функції не мають нулів на Поділивши на одержуємо нерівність де
Звідси бачимо, що образ контуру щодо відображення лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:
Оскільки то звідси
З формули похідної від частки можна одержати:
Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:
або
Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.
Див. також Інтегральна теорема Коші Основна теорема про лишки Принцип аргументу Принцип збереження області
Джерела