У фінансах, біноміальна модель оцінки вартості опціонів дає чисельні методи для оцінки опціонів. Біноміальна модель була вперше запропонована Джоном Коксом, Стефеном Россом та Марком Рубінштейном у 1979 році. По суті модель "дискретно-часову" (ґраткову) модель зміни ціни базового активу чи інструменту протягом часового інтервалу. Модель отримала назву біноміальної тому, що в кожному періоді в ній передбачається існування тільки двох можливих альтернатив поточної ринкової вартості акції. Формується біноміальне дерево, що наочно ілюструє процес визначення вартості опціону. Модель
В основі біноміальної моделі оцінки опціонів лежить елементарне формування процесу встановлення ціни опціону, за якого актив у будь-який момент часу може рухатися по одній із двох можливих траєкторій. Загальне формулювання процесу обчислення ціни опціону за біноміальною схемою, показано на малюнку і відбувається виконанням трьох кроків: Генерування дерева-процесу ціни базового активу (зображено на малюнку), Обчислення вартості опціона в кожному кінцевому вузлі дерева, , Рекурентне обчислення вартості опціону для кожного попереднього вузла, , методом знаходження математичного сподівання майбутньої вартості опціону. При цьому важливо використовувати так звану ризик-нейтральну імовірність.
На цьому малюнку – це ціна акції при виконанні опціону. Ціна може зрости до ціни з імовірністю або впасти до ціни з імовірністю у будь-який момент часу. При заданій фізичній імовірності і коефіцієнтами зростання і падіння та ризик-нейтральна імовірність обчислюється за формулою:
Де — без ризикова процентна ставка. При цьому зауважте, що для того щоб і були додатними імовірностями має виконуватися умова , але вона автоматично задовольняється якщо накласти умову відсутності арбітражу.
Мета створення імітуючого портфеля використовуючи комбінацію без ризикової позики та базового активу для створення грошового потоку, аналогічного грошовому потоку що створюється оцінюваним опціоном. У цьому випадку застосовуються принцип не арбітражу, і вартість опціону повинна бути рівною вартості портфеля-імітатора. У загальному формулюванні, представленому на рисунку, де ціна акції може рухатися вгору до або вниз до в будь-який момент часу, портфель-імітатор для кол-опціону з ціною виконання передбачає позику одиниць за без ризиковою ставкою і придбання одиниць базового активу, де
= вартість кол-опціону, якщо ціна акції дорівнює , = вартість кол-опціону, якщо ціна акції дорівнює . Рекурентне обчислення У біноміальному дереві з багатьма періодами оцінка повинна проводитися на рекурентній основі (тобто починаючи із останнього періоду та рухаючись назад у часі до теперішнього моменту). Портфелі, що імітують опціон, створюються для кожного кроку та кожного разу оцінюються, це дає можливість визначити вартість опціону в цей час. Заключний результат біноміальної моделі оцінки опціону – це визначення вартості опціону в одиницях імітуючого портфеля, складеного з акцій базового активу та без ризикової позики.
Формула для рекурентного обчислення вартості опціона:
де .
Зв'язок моделі з моделлю Блека-Шоулза Оскільки обидві моделі базуються на тих самих припущеннях, то біноміальна модель є по суті дискретизацією моделі Блека-Шоулза. І, справді у випадку Європейського опціону без дивідендів біноміальна модель прямує до моделі Блека-Шоулза при збільшенні кількості часових інтервалів. Цю збіжність моделі отримують від збіжностей імовірнісних розподілів, що використовуються в кожній з них. Біноміальна модель за розподіл базового активу бере біноміальний розподіл, який при збільшенні кількості спостережень () прямує до нормального, який є розподілом базового активу в моделі Блека-Шоулза
Джерела