В теорії графів, граф G є симетричним (або дуго-транзитивним) якщо, для будь-яких пар суміжних вершин u1—v1 і u2—v2 графа G, існує автоморфізм

f : V(G) → V(G)

такий, що

f(u1) = u2 and f(v1) = v2.

Інакше кажучи, граф симетричний, якщо група його автоморфізмів діє транзитивно над впорядкованими парами суміжних вершин (тобто, над орієнтованими ребрами). Такий граф іноді називають 1-дуго-транзитивний або прапорцево-транзитивний.

За визначенням (ігноруючи u1 і u2), симетричний граф без ізольованих вершин має також бути вершинно-транзитивним. Завдяки визначенню через відображення одного ребра на інше, симетричний граф має також бути реберно-транзитивним. Однак, реберно-транзитивний граф не має бути симетричним, бо a—b можуть відбиватись в c—d, але не в d—c. Наприклад, напівсиметричний граф є реберно-транзитивним і регулярним, але не вершинно-транзитивним.

Таким чином, кожний зв'язний симетричний граф має бути і вершинно-транзитивним, і реберно-транзитивним, зворотне твердження теж правильне для графів непарних степенів. Однак, для парних степенів, існують зв'язні вершинно-транзитивні і реберно-транзитивні, але не симетричні графи.Bouwer, Z. «Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs.» Canad. Math. Bull. 13, 231—237, 1970. Такі графи називаються . Найменший зв'язний напівтранзитивний граф це , зі степенем 4 і 27 вершинами.. Деякі автори використовують термін «симетричний граф» для позначення графів, що вершинно-транзитивні і реберно-транзитивні, радше ніж дуго-транзитивні. Таке визначення охоплює напівтранзитивні графи, які виключені визначенням поданим вище.

У відстанево-транзитивного графа замість розглядання пар суміжних вершин (тобто вершин на відстані 1), визначення розглядає дві пари вершин, кожна з однаковою відстанню між вершинами. Такий граф автоматично симетричний за визначенням.

Визначимо t-дугу як послідовність з t+1 вершин таких, що будь-які дві послідовні вершини суміжні, з допустимою відстанню між вершинами, що повторюються, більшою за два кроки. T-транзитивний граф це такий граф, що група автоморфізмів діє транзитивно на t-дугах, але не на (t+1)-дугах. Через те, що 1-дуги це просто ребра, кожний симетричний граф степені 3 або більше має бути t-транзитивний для деякого t, і значення t можна використати для подальшої класифікації симетричних графів. Куб є 2-транзитивним, наприклад.

Приклади

Поєднання умови симетричності з накладанням обмеження кубічності на граф (тобто всі вершини мають степінь 3) породжує дуже сильну умову, і такі графи становляться досить рідкісними, щоб бути занесеними в список. Перепис Фостера () і його розширення подають такі списки.Marston Conder, Trivalent symmetric graphs on up to 768 vertices , J. Combin. Math. Combin. Comput, vol. 20, pp. 41—63 Перепис Фостера був початий в 1930 році Рональдом Фостером коли він працював у Bell Labs,Foster, R. M. «Geometrical Circuits of Electrical Networks.» Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309—317, 1932. і в 1988 (коли Фостеру було 92) складений на той момент його перелік (список всіх кубічних симетричних графів до 512 вершин) був опублікованим у формі книги.«The Foster Census: R.M. Foster's Census of Connected Symmetric Trivalent Graphs», by Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson and Z. Star (1988) ISBN 0-919611-19-2 Перші тринадцять елементів цього списку це кубічні симетричні графи до 30 вершинBiggs, p. 148Weisstein, Eric W., «Cubic Symmetric Graph », from Wolfram MathWorld. (десять з них також відстанево-транзитивні; винятки позначені):

Вершин Діаметр Обхват Граф Примітки4 1 3 Повний граф K4 відстанево-транзитивний, 2-transitive6 2 4 Повний двочастковий граф K3,3 відстанево-транзитивний, 3-транзитивний8 3 4 Вершини і ребра куба відстанево-транзитивний, 2-транзитивний10 2 5 Граф Петерсена відстанево-транзитивний, 3-транзитивний14 3 6 Граф Хівуда відстанево-транзитивний, 4-транзитивний16 4 6 Граф Мебіуса — Кантора 2-транзитивний18 4 6 Граф Паппуса відстанево-транзитивний, 3-транзитивний20 5 5 Вершини і ребра додекаедра відстанево-транзитивний, 2-транзитивний20 5 6 Граф Дезарга відстанево-транзитивний, 3-транзитивний24 4 6 Граф Науру (узагальнений граф Петерсена G(12,5)) 2-транзитивний26 5 6 Граф F26A 1-транзитивний28 4 7 Граф Коксетера відстанево-транзитивний, 3-транзитивний30 4 8 Граф Тютте-Коксетера відстанево-транзитивний, 5-транзитивний

Іншими добре відомими кубічними симетричними графами є граф Діка, граф Фостера і граф Біґґса–Сміта. Десять відстанево-транзитивних графів, які перелічені вище, разом із графом Фостера і графом Біґґса—Сміта, є єдиними кубічними відстанево-транзитивними графами.

Некубічні симетричні графи включають циклічні графи (степеня 2), повні графи (степеня 4 або вище, коли вони мають 5 або більше вершин), графи гіперкуби (степеня 4 або вище, коли вони мають 16 або більше вершин), і графи утворені вершинами і ребрами октаедра, ікосаедра, кубооктаедра та ікосододекаедра. Граф Радо є прикладом симетричного графа з нескінченною кількістю вершин і нескінченним степенем.

Примітки