Рівняння Ейлера — Лагранжа (у фізиці також рівняння Лагранжа — Ейлера або рівняння Лагранжа) — основні формули варіаційного числення, за допомогою яких шукаються стаціонарні точки й екстремуми функціоналів. Зокрема ці рівняння широко використовуються в задачах оптимізації, і, разом із принципом стаціонарності дії, використовуються для обчислення траєкторій в механіці.
Використання рівнянь Ейлера — Лагранжа для знаходження екстремуму функціонала в деякому сенсі аналогічне використанню теореми Ферма, яка стверджує, що лише в точці, де перша похідна функції рівна нулю, диференційовна функція може мати екстремум (у разі функцій кількох змінних нулю має бути рівний градієнт функції). Точніше кажучи, це пряме узагальнення відповідної формули на випадок функціоналів — функцій нескінченновимірного аргумента.
Рівняння отримали Леонард Ейлер і Жозеф-Луї Лагранж у 1750-их роках.
Твердження Нехай задано функціонал
з підінтегральною функцією , для якої всі часткові похідні є неперервними. Цю функцію називають функцією Лагранжа або лагранжіаном.
Розглянемо тепер простір диференційовних на функцій, для яких також виконуються граничні умови Якщо цей функціонал досягає екстремуму на деякій функції , то для неї має виконуватися звичайне диференціальне рівняння
яке називається рівнянням Ейлера — Лагранжа разом із відповідними граничними умовами.
Приклади Розглянемо стандартний приклад: знайти найкоротший шлях між двома точками площини. Розв'язком задачі, очевидно, є відрізок, що з'єднує ці точки. Спробуємо отримати його за допомогою рівняння Ейлера — Лагранжа. Нехай точки, які треба з'єднати, мають координати і . Тоді довжину шляху , що з'єднує ці точки, можна записати так:
Рівняння Ейлера — Лагранжа для цього функціонала має вигляд:
звідки отримуємо, що
Таким чином, отримуємо пряму лінію. З огляду на те, що , , отримуємо розв'язок: відрізок, що з'єднує точки.
Багатовимірні варіації Існує також кілька багатовимірних варіантів рівнянь Ейлера — Лагранжа.
Якщо — крива в -вимірному просторі, то на ній досягається екстремум функціонала
тільки якщо виконуються умови
У фізичних застосуваннях коли є лагранжіаном (мається на увазі лагранжіан деякої фізичної системи; тобто якщо J — дія для цієї системи), ці рівняння — (класичні) рівняння руху такої системи. Це твердження можна прямо узагальнити й на випадок нескінченновимірного q.
Інше багатовимірне узагальнення одержується при розгляді функції змінних. Якщо — будь-яка, в даному випадку n-вимірна, поверхня, то
де — незалежні координати, на функції , ,
досягається екстремум функціонала тільки тоді коли задовольняє рівняння з частинними похідними
Якщо і — функціонал енергії, то цю задачу називають «мінімізацією поверхні мильної плівки».
Очевидна комбінація двох описаних вище випадків використовується для отримання рівнянь руху розподілених систем, як-от фізичні поля, коливання струни або мембрани тощо. Зокрема, замість статичного рівняння рівноваги мильної плівки, наведеного як приклад у попередньому пункті, маємо в цьому випадку динамічне рівняння руху такої плівки (якщо, звичайно, записати для неї дію, тобто кінетичну і потенціальну енергію).
Історія Рівняння Ейлера Лагранжа отримали в 1750-х роках Ейлер і Лагранж при розв'язуванні задачі про ізохрону. Це проблема визначення кривої, по якій важка частка потрапляє у фіксовану точку за фіксований час, незалежно від початкової точки.
Лагранж розв'язав цю задачу 1755 року і відіслав розв'язок Ейлеру. Розвинутий згодом метод Лагранжа і застосування його в механіці призвели до формулювання лагранжевої механіки. Листування вчених привело до створення варіаційного числення (термін придумав Ейлер 1766 року).A short biography of Lagrange
Доведення Доведення одновимірного рівняння Ейлера — Лагранжа є одним із класичних доведень у математиці. Воно ґрунтується на основній лемі варіаційного числення.
Ми хочемо знайти таку функцію , яка задовольняє граничні умови , і в якій свого екстремального значення досягає функціонал
Припустимо, що має неперервні перші похідні. Твердження справедливе і для слабших умов, але доведення для загального випадку складніше.
Якщо функція задовольняє граничні умови і дає екстремум функціонала, то будь-яка невелика зміна , за якої зберігаються граничні умови, не має зменшувати значення функціонала (якщо мінімізує його) або не має збільшувати значення (якщо максимізує).
Нехай — будь-яка диференційовна функція, яка задовольняє умови . Визначимо
де — довільний параметр.
Оскільки дає екстремум для , то , тобто
Інтегруючи частинами другий доданок, знаходимо, що
Використовуючи граничні умови на , отримуємо
Звідси, оскільки — довільна функція, випливає рівняння Ейлера — Лагранжа:
Якщо не вводити граничні умови на , то також потрібні умови трансверсальності:
Узагальнення на випадок із вищими похідними Лагранжіан може також залежати і від похідних функції порядку вищого, ніж перший.
Нехай функціонал, екстремум якого потрібно знайти, задано у вигляді:
Якщо накласти граничні умови на і на її похідні до порядку включно, а також припустити, що має неперервні перші похідні, то можна, застосовуючи інтегрування частинами кілька разів, вивести аналог рівняння Ейлера — Лагранжа і для цього випадку:
Це рівняння часто називають рівнянням Ейлера — Пуассона.
Два лагранжіани, що відрізняються на повну похідну, дадуть одні і ті ж диференціальні рівняння, однак максимальний порядок похідних у цих лагранжіанах може бути різний. Наприклад, . Щоб отримати диференціальне рівняння на екстремум, до досить застосувати «звичайне» рівняння Ейлера — Лагранжа, а для , оскільки він залежить від другої похідної, потрібно використовувати рівняння Ейлера — Пуассона з відповідним доданком:
і в обох випадках отримується одне і те ж диференціальне рівняння .
Див. також Правило Кейнса — Ремзі
Джерела Моклячук М. П. Варіаційне числення. Екстремальні задачі. — К., 2003. — 380 с. Перестюк М. О., Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейкін Ю. В. Варіаційне числення та методи оптимізації: Навч. посібник. — К., 2010. — 121 c.