Де́рево в теорії графів — зв'язний граф без циклів.

Орієнтоване (спрямоване) дерево — ациклічний орграф (орієнтований граф, що не містить циклів) — той, в якому тільки одна вершина має нульовий напівстепінь входу, а всі інші вершини мають напівстепінь входу 1. Вершина з нульовим степенем входу називається коренем дерева, вершини з нульовим напівстепенем виходу (з яких не виходить жодне ребро) називаються кінцевими вершинами або листками.

Формально дерево визначається як скінченна множина T одного або більше вузлів з такими властивостями: Існує один корінь дерева . Інші вузли (за винятком кореня) розподілені серед неперетинних множин і кожна з множин є деревом; дерева називаються піддеревами даного кореня .

Характеристичні властивості Найважливіші характеристичні властивості «дерева» описуються такими шістьма рівносильними одне одному висловленнями: та (визначення «дерева»); та ; та ; для довільної пари вершин x, y в L існує один і тільки один ланцюг, який з'єднує x та y; , але якщо із L видалити будь яке ребро, то для отриманого графа L− буде ; , але якщо до додати будь яке ребро (не додаючи вершин), то в отриманого графа буде .

Тут  — довільний граф,  — кількість його вершин,  — кількість ребер,  — кількість компонент зв'язності,  — цикломатичне число.

Довільний граф без циклів часто називають лісом (оскільки кожна його складова — «дерево»). Ордерево, яке росте із x0, — це «дерево», в якому виділено одну вершину x0 («корінь»), а ребра орієнтовані таким чином, що всі ланцюги, які починаються в x0, є шляхами (тобто, їхні дуги орієнтовані в напряму обходу).

Пов'язані визначення

Степінь вершини — кількість інцидентних їй ребер.

Кінцевий вузол (лист, термінальна вершина) — сайт зі ступенем 1 (тобто вузол, у який веде тільки одне ребро; у разі орієнтованого дерева — вузол, який веде тільки одна дуга і не виходить ні однієї дуги).

Вузол розгалуження — некінцевий вузол.

Рівень вузла — довжина шляху від кореня до вузла. Можна визначити рекурсивно:

рівень кореня дерева дорівнює 0;

рівень будь-якого іншого вузла на одиницю більше, ніж рівень кореня найближчого піддерева дерева, що містить цей сайт.

Дерево із позначеною вершиною називається кореневим деревом.

N-й ярус дерева — множина вузлів дерева, на n-ому рівні від кореня дерева.

Частковий порядок на вершинах: якщо вершини різні і вершина лежить на елементарному ланцюзі, що з'єднує корінь з вершиною кореневе дерево з коренем — підграф .

Кістякове дерево (остов) — це підграф даного графа, що містить всі його вершини і є деревом. Ребра графа, що не входять в остов, називаються хордами графа відносно остова.

Незведеним називається дерево, в якому немає вершин ступеня 2.

Ліс — множина дерев, або незв'язний граф без циклів.

Лінійний ліс — ліс, утворений з диз'юнктного об'єднання шляхів.

Бінарне (двійкове) дерево

Термін бінарне дерево (воно ж двійкове дерево) має кілька значень: Неорієнтоване дерево, в якому ступені вершин не перевищують 3. Орієнтоване дерево, в якому вихідні ступені вершин (число вихідних ребер) не перевищують 2. Абстрактна структура даних, яка використовується в програмуванні. На двійковому дереві засновані такі структури даних, як бінарне дерево пошуку, двійкова купа, червоно-чорне дерево, АВЛ-дерево, фібоначчієва купа та ін.

N-арні дерева N-арні дерева визначаються за аналогією з двійковим деревом. Для них також є орієнтовані та неорієнтовані випадки, а також відповідні абстрактні структури даних.

N-арне дерево (неорієнтоване) — це дерево звичайне (неорієнтоване), в якому ступені вершин не перевищують N+1.

N-арне дерево (орієнтоване) — це орієнтоване дерево, в якому вихідні ступені вершин (число вихідних ребер) не перевершують N.

Властивості Дерево не має кратних ребер та петель. Будь-яке дерево з вершинами містить ребер. Більш того, скінченний зв'язний граф є деревом, тоді і тільки тоді, коли , де  — число вершин, — кількість ребер графа. Граф є деревом, тоді і тільки тоді, коли будь-які дві різні його вершини можна з'єднати єдиним простим ланцюгом. Будь-яке дерево однозначно визначається відстанями (найменшою довжиною ланцюга) між його кінцевими (ступеня 1) вершинами. Будь-яке дерево є двочастковим графом. Будь-яке дерево, множина вершин якого не більше ніж рахункова, є планарним графом. Для будь-яких трьох вершин дерева шляхи між парами цих вершин мають одну спільну вершину.

Підрахунок дерев Кількість різних дерев, які можна побудувати на нумерованих вершинах, згідно з формулою Келі, дорівнює .

Див. також

Теорія графів — містить визначення багатьох термінів. Дерево (структура даних) — застосування дерев в програмуванні. Дерево Тремо Коефіцієнт галуження (інформатика) Псевдоліс

Примітки

Джерела

т.1, с. 256.