Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору. Розмірність Лебега простору , зазвичай позначається .
Визначення
Для метричних просторів
Для компактного метричного простору розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n із такою властивістю, що при будь-якому існує скінченне відкрите -покриття , що має кратність ≤ n + 1;
При цьому
-покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр , а кратністю скінченного покриття простору називається таке найбільше ціле число , що існує точка простору , що втримується в k елементах даного покриття.
Для топологічних просторів Для довільного нормального (зокрема, для метризовного) простору розмірністю Лебега називається найменше ціле число таке, що до всякого скінченного відкритого покриття простору існує вписане в нього (скінченне відкрите) покриття кратності n+1.
При цьому покриття називається вписаним у покриття , якщо кожний елемент покриття є підмножиною хоча б одного елемента покриття .
Приклади Нульвимірні простори: одноточковий простір, дискретний простір, множина Кантора. Одновимірні простори: коло, серветка Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера Див. також крива Урисона
Історія Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність -мірного куба дорівнює . Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту (для класу метричних компактів) дав П. С. Урисон.
Див. також Фрактал Розмірність Гаусдорфа Міра множини
Примітки
Література Ryszard Engelking Dimension theory. — Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1978. — 316 pp. — ISBN 0-444-85176-3.