Теорема Вітні про вкладення — затвердження диференціальної топології, згідно якому довільно гладка -вимірна багатоманітність з лічильною базою допускає гладке вкладення в -вимірний Евклідів простір. Встановлено Хасслером Уітні в 1938 році.
Наведений результат є оптимальним, коли — ступінь двійки: тоді -вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в -вимірний евклідів простір.
Схема доказу
Випадки і встановлюються напряму. Для доказу випадку , використовується факт, що гладке відображення загального положення є імерсією з кінцевою кількістю точок трансверсального самоперетину.
Позбутися від цих точок самоперетину можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні. Він складається з наступного. Візьмемо точки самоперетин відображення маючи різні знаки. Візьмемо крапки , для яких і . З'єднаємо та гладкою кривою . З'єднаємо і гладкою кривою . Тоді є замкнута крива в . Далі побудуємо відображення з границею . Загалом, є вкладенням та (якраз тут використовується те, що ). Тоді можна ізотопувати у маленькій околиці диска так, щоб ця пара точок самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, представивши картинку для (В якій властивості диска виявилися виконані випадково, а не за загальним положенням).
Наведемо малюнок іншого способу позбавитися точок самоперетину відображення загального положення . Він ґрунтується на важливій ідеї поглинання. (Іноді застосування цієї ідеї помилково називають трюком Вітні.) Візьмемо точку самоперетину відображення . Візьмемо крапки , для яких . З'єднаємо і гладкою кривою . Тоді є замкнута крива в . Далі побудуємо відображення з кордоном . Загалом, є вкладенням та (якраз тут використовується те, що m⩾3). Тепер можна ізотопувати у маленькій околиці диска так, щоб ця точка самоперетину зникла.
Варіації та Узагальнення Нехай є гладке m-вимірне різноманіття, де :
Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення в . може бути занурене в . Більше того може бути занурене в , де є число одиниць у двійковому представлені числа . Останній результат є оптимальним: для будь-якого можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в . Теорема Мостоу — Паласа дає еквіваріантний варіант теореми Вітні про вкладення.
Література
В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
класифікація вкладень (англ.)