Розподіл Гіббса МЕТОДИКА РОЗГЛЯДУ РОЗПОДІЛУ ГІББСА В СТАТИСТИЧНІЙ ТЕРМОДИНАМІЦІ — розподіл імовірностей, що визначає кількості частинок в різних квантових станах. Названий на честь американського фізика Джозаї Вілларда Гіббса. Ґрунтується на таких постулатах статистики: Всі доступні мікростани системи рівноймовірні. Рівновазі відповідає найімовірніший розподіл (підсистем за станами). Ймовірність перебування підсистеми в деякому стані визначається лише енергією стану. Розподіл Гіббса являє собою найзагальнішу і зручну основу для побудови рівноважної статистичної механіки.
Кількісний розгляд Статистична сума
як і в термодинаміці, має зміст відносної імовірності знаходження системи в певному мікростані. І, дивлячись на співвідношення Больцмана , легко зрозуміти, що станам з максимальною ентропією відповідає максимальна статистична вага. Потрібно врахувати, що в системі постійні число частинок
і повна енергія
Факторіал великих і знаходиться за формулою Стірлінга (малими можна знехтувати): , де . Цю точну формулу можна замінити наближеною
так як відносна помилка в обчисленнях за цією формулою не перевершує , вже при вона менше одного відсотока. Із співвідношень (0), (1) і (3) випливає наступне:
Чисельником тут є функція від , і можна ввести позначення
що дає
Тоді з формули Больцмана слідує
Тут можна знехтувати 0,5 порівняно з . Тоді
Максимум ентропії (5) із урахуванням співвідношень (1) і (2), використовуючи метод невизначених множників, буде при умовах
Звідси , де и — множники Лагранжа, не залежні від змінних . У системі є змінні і три рівняння - отже, будь-які дві залежать від інших; відповідно можна вважати залежними та і вибрати множники Лагранжа так, щоб коефіцієнти при и звернулися в 0. Тоді при інших змінні , , … можна прийняти за незалежні, і при них коефіцієнти також будуть рівні 0. Так отримано
звідси
де — нова константа.
Для визначення сталої можна скласти систему в теплопровідні стінки і квазістатично змінювати її температуру. Зміна енергії газу , а зміна ентропії (зі співвідношення (5)) дорівнює . Так як , то звідси , і тому
Термостат Отримано найбільш ймовірне розподіл системи. Для довільної макроскопічної системи (системи в термостаті), оточеній протяжної середовищем (термостатом), температура якої підтримується постійною, виконується співвідношення (6) - розподіл Гіббса: їм визначається відносна ймовірність того, що система при термодинамічній рівновазі знаходиться в -вому квантовому стані.
Див. також Розподіл Больцмана Джозая Віллард Гіббс Ентропія Гіббса
Примітки
Джерела Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с. Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.