Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.
Означення Якщо вектор дійсних чисел мажорує вектор дійсних чисел тоді виконується нерівність для многочленів
,
для будь яких невідʼємних .
Симетрична сума В означенні використовується спеціальна нотація для сум одночленів зі степенями
Сума береться по всіх перестановках з елементів { 1, …, n }.
Для випадку треба знайти всі перестановки трьох змінних, тобто сума складається з додатків:
Приклад 1 З нерівності Мюрхеда випливає нерівність середнього арифметичного та геометричного якщо застосувати її з векторами та . Очевидно, що a мажорує b ()
Приклад 2 Для довільних дійсних чисел виконується нерівність
Це частковий випадок нерівності Мюрхеда для степеня 2 з векторами та
Доведення перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:
виділимо повні квадрати:
Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.
Джерела
З любов’ю до людей та математики... До 60-річчя від дня народження В’ячеслава Андрійовича Ясінського. — Вінниця : ТОВ «Нілан-ЛТД», 2017. — 209 c.