Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.
Приклади тіл обертання Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки: Sбіч = 2πrh. Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки: Sбіч = πrl. Площа повної поверхні конуса: Sбіч = πr(l+ r). Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає йогоМатематика. Энциклопедия для детей том 11-й ISBN 5-94623-072-7
При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).
Об'єм і площа поверхні тіл обертання Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа. Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:
Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т. С) цієї лінії.
Наприклад, для тора радіусом i з радіусом кола , довжина лінії , довжина кола для центру мас , звідки площа поверхні тора .
Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:
Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.
Наприклад, для тора радіусом i з радіусом кола , площа кола , довжина кола обертання центру мас , звідси об'єм тора
Див. також
Поверхня обертання Фігури обертання
Примітки
</div>
Джерела
О. Пришляк, Диференціальна геометрія , Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004.
Дутчак Б. І., Михальчук Р. І., Матвіїв Ю. Я. Електронний навчальний посібник з дисципліни: «Вища математика». Розділ «Визначений інтеграл» (курс лекцій). — Луцьк: ЛНТУ, 2008. (електронний навчальний ресурс)