Число́ Мерсе́нна (Mersenne number) — числа виду , де — натуральне число. Числа називають іменем французького математика Марена Мерсенна, що жив на початку XVII століття.
Послідовність чисел Мерсенна починається так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … ()
Іноді числами Мерсенна називають числа з простими індексами . Ця послідовність починається так: 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607,… ()
Властивості Будь-який дільник числа для простого має вигляд , де — ціле число: це прямий наслідок малої теореми Ферма. Ейлер довів, що кожне парне досконале число має вигляд , де число Мерсенна є простим.
Прості числа Мерсенна Числа Мерсенна є добре відомими у зв'язку з ефективним тестом простоти Люка — Лемера, завдяки якому прості числа Мерсенна давно утримують лідерство як найвідоміші прості числа. Станом на жовтень 2024 року найбільшим відомим простим числом є число Мерсенна , знайдене 12 жовтня 2024 року в рамках проєкту розподілених обчислень GIMPS. Загалом відомо 52 простих числа Мерсенна, з них 18 були знайдені в ході проєкту GIMPSНовий рекорд. Експрацівник NVIDIA знайшов найбільше просте число — у ньому 41 мільйон цифр. 23.10.2024, 19:35, при чому порядкові номери точно встановлені лише у перших 48.
Послідовність простих чисел Мерсенна і їх показників починається так: : 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, … () : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, … ()
Відкриті проблеми Нескінченність кількості простих чисел Мерсенна і їх асимптотика Простота числа
Факторизація чисел Мерсенна pMpФакторизація Mp11204723 × 89238 388 60747 × 178 48129536 870 911233 × 1103 × 208937137 438 953 471223 × 616 318 177412 199 023 255 55113 367 × 164 511 353438 796 093 022 207431 × 9719 × 2 099 86347140 737 488 355 3272351 × 4513 × 13 264 529539 007 199 254 740 9916361 × 69 431 × 20 394 4015957 646 075 230 343 487179 951 × 3 203 431 780 337 (13 цифр)67147 573 952 589 676 412 927193 707 721 × 761 838 257 287 (12 цифр)712 361 183 241 434 822 606 847228 479 × 48 544 121 × 212 885 833739 444 732 965 739 290 427 391439 × 2 298 041 × 9 361 973 132 609 (13 цифр)79604 462 903 807 314 587 353 0872687 × 202 029 703 × 1 113 491 139 767 (13 цифр)83967140655691…033397649407167 × 57 912 614 113 275 649 087 721 (23 цифр)97158456325028…18708790067111 447 × 13 842 607 235 828 485 645 766 393 (26 цифр)101253530120045…9934064107517 432 339 208 719 (13 цифр) × 341 117 531 003 194 129 (18 цифр)103101412048018…9736256430072 550 183 799 × 3 976 656 429 941 438 590 393 (22 цифри)109649037107316…312041152511745 988 807 × 870 035 986 098 720 987 332 873 (24 цифри)113103845937170…9926584401913391 × 23 279 × 65 993 × 1 868 569 × 1 066 818 132 868 207 (16 цифр)131272225893536…454145691647263 × 10 350 794 431 055 162 386 718 619 237 468 234 569 (38 цифр)
Див. також Вихор Мерсенна Стала Ердеша — Борвейна
Примітки
Посилання
Mersenne Numbers Double Mersenne Numbers Mersenne Primes: History, Theorems and Lists Найбільші відомі прості числа