Число́ є одним з найголовніших об'єктів математики, який використовується для підрахунку, вимірювання та для маркуванняТакі числа називають номінальними.. Символи, які використовуються для позначення чисел називаються цифрами. Окрім того, що цифри використовуються при лічбі та вимірюванні, вони використовуються також для маркування (наприклад, як номер телефону), упорядкування (серійний номер і для кодування (ISBN). Взагалі, термін число може вказувати на символ, слово або математичну абстракцію.
В математиці, поняття числа розширювалось з плином часу. Було додано такі поняття як нуль, від'ємні числа, раціональні числа (, ), дійсні числа ( та ), комплексні числа, які розширюють дійсні числа введенням поняття про . Над числами виконуються арифметичні операції, такі як додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня. Їх використання називається арифметикою. Деякі властивості натуральних чисел досліджуються у теорії чисел, — великому розділі математики.
Окрім практичного використання, числа мають також культурне значенняGilsdorf, Thomas E. Introduction to Cultural Mathematics: With Case Studies in the Otomies and Incas, John Wiley & Sons, Feb 24, 2012.Restivo, S. Mathematics in Society and History, Springer Science & Business Media, Nov 30, 1992.. Наприклад, у західному суспільстві число 13 вважається нещасливим, а «мільйон» може означати «багато». В наші часи нумерологія вважається псевдонаукою, проте антична та середньовічна думка пронизана вірою в містичне значення чиселOre, Oystein. Number Theory and Its History, Courier Dover Publications.. Нумерологія сильно вплинула на давньогрецьку математику, та підштовхнула до дослідження багатьох проблем в теорії чисел, які актуальні й досі.
Протягом XIX століття математики почали розвивати багато різних абстракцій, які мають спільні властивості з числами або які можна розглядати як узагальнення поняття числа. Серед перших були гіперкомплексні числа, які узагальнювали комплексні числа. Тепер системи числення розглядаються як важливі приклади загальних категорій, таких як кільце та поле, і використання терміна «число» є питанням домовленості, без фундаментального значенняGouvea, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics, Chapter II.1, «The Origins of Modern Mathematics», p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. ISBN 978-0691118802..
У давнину у слов'янських мовах слово «число» означало «знак», «символ», «поняття», «ідея». Під словом «числити» розуміли в ті часи «значити», «думати», а також «записувати щось за допомогою знаків», «робити певні дії зі знаками».
Типи чисел Математики поступово розширювали набір усіх відомих чисел. Поява нових видів чисел і числення тісно пов'язана з розвитком людського суспільства. Разом з тим, на кожне розширення числової системи можна дивитися з математичної точки зору, обґрунтовуючи таке розширення, як правило, розширенням можливостей виконувати деяку математичну операцію.
Натуральні числа
Дослівно — «природні» числа ( — природа). Натуральні числа — найдавніші числа, які стали використовувати люди, в першу чергу при лічбі:
Сукупність (множина) всіх натуральних чисел позначається .
Цілі числа
Назва «цілі числа» виникла на противагу числам, які позначають «нецілі» кількості, — дробам.
Цілі числа утворюються на основі натуральних за допомогою введення нових понять і позначень: нуля (0, — ніщо, відсутність будь-якої кількості) та від'ємних чисел:
,
тобто таких кількостей, додаючи до яких додатні кількості (які позначаються натуральними числами) ми отримуємо нуль. Від'ємні числа позначаються за допомогою знака «−» (мінус) перед тим натуральним числом, у сумі з яким дане від'ємне число дає 0.
Від'ємні числа отримали застосування в багатьох сферах людського життя — в математиці (дали змогу розробити поняття системи координат), в економіці (позначення боргу), у фізиці (від'ємні заряди, від'ємна температура), в історії (роки до нашої ери) тощо.
У множині цілих чисел (на відміну від натуральних) завжди здійсненне віднімання.
Множина цілих чисел позначається — . Цілі числа в математиці вивчають у рамках теорії чисел.
Раціональні числа
Назва цих чисел походить від — «відношення», що пов'язане з тим, що ці числа з часу їхньої появи позначають за допомогою відношення двох цілих чисел, наприклад, 2:5, 2/5 чи . Інша назва — «дроби», тобто числа, якими можна позначити нецілу кількість предметів — півтора, третину склянки, чверть години тощо. Під дробовими числами зазвичай розуміють ті раціональні числа, які не належать до цілих.
Поява раціональних чисел також дала змогу розв'язати багато прикладних задач із різних галузей науки.
У множині раціональних чисел (на відміну від цілих) завжди здійсненне ділення, крім ділення на 0. Цікаво, що історично проблему щодо ділення розв'язали значно раніше, ніж проблему щодо віднімання, так що спочатку множину натуральних чисел (разом з нулем) розширили до множини невід'ємних раціональних чисел, і лише потім з'явилися від'ємні числа. Справді, дроби набагато «реальніші», ніж від'ємні числа, їх простіше безпосередньо відчути на життєвих прикладах. Однак з погляду математики виглядає дещо природнішим спочатку сконструювати цілі від'ємні числа, а вже потім — дробові. Для шкільної програми в цьому питанні характерним є «історичний» підхід: учнів ознайомлюють з дробами раніше, ніж з від'ємними числами.
Множина всіх раціональних чисел позначається .
Дійсні числа
Назва чисел відображає думку про те, що вони дають змогу описувати дійсність (реальність).
Після появи раціональних чисел стало зрозумілим, що вони не дають змогу розв'язати всі задачі, які постали перед людством. Серед них такі завдання, як вимірювання відстаней (наприклад, діагоналі одиничного квадрата), пошук коренів квадратних рівнянь тощо. Було введено поняття ірраціонального (нераціонального) числа — числа, яке не може бути виражене за допомогою відношення цілих чисел. Сукупність раціональних та ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.
Найпоширеніше позначення дійсних чисел — у вигляді десяткових (можливо нескінченних) дробів. Ірраціональні числа в цьому випадку — неперіодичні, нескінченні десяткові дроби. Зазначимо, що нескінченний десятковий дріб можна трактувати як послідовність певних скінченних десяткових дробів (тобто раціональних чисел); границя такої послідовності дорівнює числу, яке зображує цей десятковий дріб.
, — так записують дійсні числа.
У множині дійсних чисел (на відміну від раціональних) завжди здійсненна дія добування кореня натурального степеня з невід'ємного числа.
Множина дійсних чисел позначається , першою буквою слова «real» — дійсні.
Комплексні числа
Дослівний переклад назви цих чисел — «складені» («складні») числа, від . Кожне комплексне число можна трактувати як пару дійсних чисел; якщо другий елемент цієї пари рівний 0, то таке комплексне число ототожнюють з дійсним (унаслідок чого маємо справді розширення множини дійсних чисел). Ті комплексні числа, які не ототожнені з жодним дійсним числом, називають уявними числами (хоча існують і інші погляди на значення словосполучення «уявне число»).
Комплексні числа застосовують в електродинаміці, квантовій механіці та інших галузях фізики.
У множині комплексних чисел завжди здійсненна дія добування кореня довільного натурального степеня з довільного комплексного числа (в той час як, залишаючись у межах дійсних чисел, корінь парного степеня можна добути лише з невід'ємного числа). Як наслідок, стає можливим розв'язати довільне квадратне рівняння (тобто навіть з від'ємним дискримінантом).
Комплексні числа плідно використовують також для розв'язування кубічних рівнянь (за формулами Кардано). Цікаво, що при цьому часто навіть для отримання дійсних розв'язків кубічного рівняння доводиться мати справу з уявними числами на деяких етапах розв'язування.
Множину комплексних чисел позначають , першою літерою слова «complex» — комплексний.
Інші типи чисел Комплексні числа можуть бути розширені до кватерніонів, від («чотири»); кватерніон можна трактувати як упорядковану множину чотирьох дійсних чисел. Множина кватерніонів позначається . Для кватерніонів втрачається комутативність множення.
В свою чергу, октоніони є розширенням кватерніонів і втрачають властивість асоціативності.
Кватерніони й октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.
Отож вищерозглянуті множини чисел можна записати у вигляді такого ланцюжка:
.
У математиці існує поняття «потужність множини», яке є узагальненням поняття «кількість елементів множини» на випадок, коли множина може бути нескінченною. Для описання цих потужностей вводять кардинали або, що те саме, кардинальні числа.
Підкласи цілих чисел
Парні та непарні числа
Парне число — ціле число, яке «ділимо порівну» на два, тобто ділиться на два без остачі; непарне число є цілим числом, яке не ділиться на два без остачі. Еквівалентне визначення непарного і парного числа таке: непарне число є цілим числом виду n = 2k + 1, де k є цілим числом, а парне число має вигляд n = 2k, де k — ціле число.
Прості числа
Просте число — ціле число більше одиниці, яке не є добутком двох менших додатних цілих чисел. Перші декілька простих чисел: 2, 3, 5, 7 і 11. Прості числа широко вивчались впродовж 2000 років, було отримано відповіді до багатьох питань. Вивченням цих питань займається теорія чисел. Прикладом питання, на яке досі не знайдена відповідь буде таке: чи буде кожне парне число сумою двох простих чисел. Це називається гіпотезою Гольдбаха.
Інші класи цілих чисел
Багато підмножин натуральних чисел були предметом спеціальних досліджень і їх часто називають на честь першого математика, який вивчав їх. Прикладом таких наборів чисел є числа Фібоначчі і досконалі числа. Додаткові приклади можна знайти серед послідовностей цілих чисел.
Підкласи комплексних чисел
Алгебраїчні, ірраціональні та трансцендентні числа Алгебраїчні числа — числа, які є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами. Комплексні числа, які не є раціональними числами, називаються ірраціональними числами.
Комплексні числа, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними числами.
Обчислюване число
Обчислюване число (або рекурсивне) — це дійсне число, яке може бути обчислене з будь-якою заданою точністю за допомогою певного алгоритму. Еквівалентні визначення можуть бути зроблені через μ-рекурсивні функції, машину Тюринга або λ-числення. Обчислювані числа є стійкими для всіх звичайних арифметичних операцій, зокрема й для обчислення коренів многочлена і тому утворюють дійсне замкнуте поле, що містить дійсні алгебраїчні числа.
Представлення чисел у пам'яті комп'ютера Докладніше Представлення чисел зі знаком, Доповняльний код, Число з рухомою комою Для представлення натурального числа у пам'яті комп'ютера, воно зазвичай переводиться y двійкову систему числення. Для представлення від'ємних чисел часто використовується додатковий код числа.
Представлення чисел y пам'яті комп'ютера має обмеження, пов'язані з обмеженістю об'єму пам'яті, що виділяється під числа. Навіть натуральні числа є математичною ідеалізацією, ряд натуральних чисел нескінченний. На об'єм же пам'яті ЕОМ накладаються фізичні обмеження. У зв'язку з цим в ЕОМ ми маємо справу не з числами в математичному сенсі, а з деякими їх представленнями, або наближеннями. Для представлення чисел відводиться деяке певне число елементів (зазвичай двійкових) пам'яті. У разі, якщо в результаті виконання операції отримане число повинне зайняти більше розрядів, ніж відводиться в ЕОМ, результат обчислень стає невірним — відбувається так зване арифметичне переповнювання. Дійсні числа зазвичай представляються у вигляді чисел з рухомою комою. У найбільш поширеному форматі число з рухомою комою представляється у вигляді послідовності бітів, частина з яких кодує собою мантису числа, інша частина — показник міри, і ще один біт використовується для вказівки знаку числа.
Історія розвитку поняття