Істо́рія арифме́тики охоплює період від виникнення рахування до формального означення чисел і арифметичних операцій над ними за допомогою системи аксіом. Арифметика — наука про числа, їх властивості і відношення — є однією з основних математичних наук. Вона тісно пов'язана з алгеброю і теорією чисел.

Причиною виникнення арифметики стала практична потреба в рахуванні, найпростіших вимірюваннях і обчисленнях. Перші достовірні відомості про арифметичні знання виявлені в історичних пам'ятках Вавилона і Стародавнього Єгипту, які відносяться до III—II тисячоліть до н. е. Великий внесок у розвиток арифметики зробили грецькі математики, зокрема піфагорійці, які намагались за допомогою чисел визначити закономірності світу. У Середні віки основними сферами застосування арифметики були торгівля і наближені обчислення. Арифметика розвивалась в першу чергу в Індії та ісламських країнах, і тільки згодом прийшла до Західної Європи. У XVII столітті мореплавна астрономія, механіка, складніші комерційні розрахунки поставили перед арифметикою нові питання стосовно техніки обчислень і дали поштовх до подальшого розвитку.

Теоретичні обґрунтування уявлення про число пов'язані в першу чергу з визначенням натурального числа і аксіомами Пеано, сформульованими у 1889 році. Згодом з'явились строгі визначення раціональних, дійсних, від'ємних і комплексних чисел. Подальше розширення поняття числа можливе лише за відмови від одного з арифметичних законів.

Виникнення арифметики

Якщо у двох множинах (наборах предметів) кожен елемент одного набору має єдину пару у другому наборі, то ці множини рівні. Таке фактичне порівняння, коли предмети розкладались у два ряди, використовувалось ще первісними племенами при обміні. Воно дає можливість встановити кількісні співвідношення між групами об'єктів і не потребує поняття числа.

У подальшому з'явились природні еталони рахування, наприклад, пальці рук, а потім і множини-еталони, такі як руки. З появою еталонів, що символізують конкретні числа, і пов'язують виникнення поняття числа. При цьому число предметів порівнювали з Місяцем на небі, кількістю очей, кількістю пальців на руці. Пізніше численні еталони замінив один найзручніший, звичайно ним ставали пальці рук і/чи ніг.

Наступним кроком була поява загального поняття числа. Для праіндоєвропейської мови, в якій використовувалася десяткова система числення, вже реконструйовані назви числівників до ста включно. Лебег з цього приводу зауважив: «Можливо, якщо б люди мали одинадцять пальців, була б прийнята одинадцяткова система числення».

Для запису результатів рахування використовували зарубки на дереві чи кістках, вузлики на мотузках — штучні еталони лічення. Променева кістка молодого вовка з 55 зарубками була знайдена у 1937 році поблизу селища Дольні-Вестоніце (Чехія). Вік знахідки становить близько 5 тисяч років (за іншими даними близько 30 тисяч років), тривалий час вона була найдавнішим відомим записом числа.

При іменуванні чисел використовувались або нерозкладні найменування (такі числа отримали назву вузлові) або складені з вузлових найменувань — алгоритмічні. При цьому комбінування алгоритмічних чисел засноване на арифметичних операціях, що здійснюються над вузловими числами.

Нумерація, так само як і назва чисел, заснована на одному з трьох принципів: адитивному (additio — додавання) — знаки для і повторення цих знаків (); субтрактивному (subtractio — віднімання) — сполучення цифр , де , рівнозначне різниці ; мультиплікативному (multiplicatio — множення) — сполучення цифр рівнозначне добутку, використовується для назви десятків і сотень в індоєвропейських мовах.

Окрім згаданих вище, у низці джерел згадується також принцип, заснований на діленні.

Стародавні математичні тексти і системи числення

Стародавній Єгипет

Основні відомості про єгипетську математику базуються на папірусі Ахмеса, що являє собою конспект єгипетського переписувача Ахмеса (XVIII—XVII століття до н. е.), а також Московському папірусі. Обидва папіруси належать до епохи Середнього царства. Інформації про математичні тексти Нового царства, а також Раннього і Стародавнього царств не збереглось. Математичні папіруси Стародавнього Єгипту були складені з навчальною метою, вони містять задачі з розв'зками, допоміжні таблиці та правила дій над цілими числами і дробами, зустрічаються арифметичні і геометричні прогресії, а також рівняння.

Єгиптяни користувались десятковою системою числення. Ієрогліфічна нумерація була адитивною зі спеціальними знаками для і так далі до десяти мільйонів, в той же час у ієратичному письмі з'явились знаки для чисел від одного до дев'яти, для десятків, сотень і тисяч, а також спеціальні знаки для дробів вигляду , чи аліквотних дробів.

Єгипетські математичні тексти особливу увагу приділяли обчисленням і труднощам, що виникають при цьому і від яких багато в чому залежать методи розв'язку задач. Єгиптяни використовували такі арифметичні операції, як додавання, подвоєння і доповнення дробу до одиниці. Будь-яке множення на ціле число або ділення без залишку проводилось за допомогою багаторазового повторення операції подвоєння, що призводило до громіздких обчислень, в яких брали участь певні члени послідовності . В Єгипті застосовувались тільки аліквотні дроби, а всі інші розкладались на суму аліквотних. В папірусі Ахмеса наведені таблиці таких розкладань для дробів вигляду , інші обчислення з дробами проводились за допомогою операції подвоєння. При визначенні площі квадрата, об'єму куба чи знаходженні сторони квадрата за його площею єгиптяни стикалися з піднесенням у ступінь і добуванням кореня, хоча назв цих операцій ще не було.

Вавилон

Вавилонські клинописні математичні тексти використовували шістидесяткову систему числення, характерну ще для шумерів, і являли собою навчальні посібники, які містили таблиці множення для чисел від до , а також таблиці обернених чисел, таблиці квадратів і кубів чисел натурального ряду, таблиці розрахунку процентів, дроби з основою . Відомо більше трьохсот табличок з текстами математичних задач і числовими таблицями. Для Вавилона характерне широке застосування таблиць.

У Вавилоні вперше з'являється послідовна позиційна нумерація. Перші п'ятдесят дев'ять чисел записувались з повторенням знаків одиниць і десятків потрібне число разів. Аналогічним чином записувались числа, кратні шістдесяти ліворуч від першого набору. Пізніше таке розташування поширилось на будь-які числа вигляду і . Крім того, вавилоняни ввели знак, що позначає нуль при записі числа.

Додавання і віднімання у Вавилоні було аналогічним даним діям в десятковій позиційній системі, з відмінністю в тому, що перехід в наступний розряд був необхідний як для основи системи, так і для одиниць і десятків. Через велику основу вавилоняни користувались не однією таблицею множення до , яка б містила велику кількість елементів, а багатьма таблицями добутків чисел від до на числа , які називались також «заголовними». Операції ділення у вавилонян не було, тому велика увага приділялась складенню таблиць обернених величин, тобто чисел, що утворюються при діленні на . У випадку ділення, що дає нескінченний дріб спочатку писалось, що оберненого числа немає, а пізніше почали давати наближене значення.

При розв'язанні арифметичних задач вавилоняни спирались на пропорції і прогресії. Вони знали формулу суми членів арифметичної прогресії, правила для додавання підсумовування геометричної прогресії, вирішували задачі на проценти. У Вавилоні знали багато піфагорових трійок, а для їх пошуку, імовірно, користувались невідомим спільним прийомом. В цілому, задача знаходження цілих і раціональних розв'язків рівнянь відноситься до теорії чисел. Геометричні задачі викликали необхідність наближеного видобуття квадратних коренів, яке вони виконували, використовуючи правило та інтерпретаційні методи для подальшого наближення результату.

Стародавня Греція

На самому початку греки користувались аттичною нумерацією, яка використовувала знаки для чисел . Цю систему описав граматик і історик Геродіан у II столітті н. е. За допомогою аттичної нумерації записувались результати обчислень на лічильній дошці абак. З часом аттичну нумерацію змінила компактна літерна — іонічна. Іонічна нумерація використовувала 24 літери грецького алфавіту і три літери, що вийшли з обігу, для позначення одиниць від до , десятків від до і сотень від до (літери, що вийшли з обігу використовувались для позначення чисел ). Щоб відрізнити числа від літер над ними ставили риску. Для запису числа використовували той самий символ, що й для одиниці, але з рискою знизу ліворуч. Це нагадує позиційну систему, але остаточного переходу не відбулось. Вважається, що така система утруднювала складні обчислення, але у 1882 році французький історик математики Поль Таннері дійшов висновку, що за правильного підходу грецька система нумерації не сильно відрізняється від десяткової за швидкістю обрахунків.

Розвиток давньогрецької арифметики пов'язаний з піфагорійською школою. Піфагорійці спершу вважали, що співвідношення будь-яких двох відрізків можна виразити через співвідношення цілих чисел, тобто геометрія являла собою арифметику раціональних чисел. Використання аналогічних співвідношень в гармонії і музиці привело піфагорійців до висновку, що всі закономірності світу можна відобразити за допомогою чисел, а арифметика потрібна для того, щоб сформулювати співвідношення і побудувати модель світу. Зокрема піфагорієць Архіт писав: «Арифметика, на [мою] думку, серед інших наук вельми виділяється досконалістю знань; та й геометрії [вона більш досконала, оскільки] вона ясніше, ніж геометрія, розглядає будь-який [предмет].»

Піфагорійці розглядали тільки цілі додатні числа і вважали число зібранням одиниць. Одиниці були неділимі і розміщувались у вигляді правильних геометричних тіл. Для піфагорійців характерне визначення «фігурних чисел» («трикутних», «квадратних» та інших). Вивчаючи властивості чисел, вони розподілили їх на парні й непарні (як ознака подільності на два), прості й складені. Імовірно, саме піфагорійці за допомогою тільки ознаки подільності на два зуміли показати, що якщо  — просте число, то  — досконале число. Доведення викладене у «Началах» Евкліда (IX, 36), лише у XVIII столітті Ейлер показав, що інших парних досконалих чисел не існує, а питання про нескінченність числа досконалих чисел до теперішнього часу не вирішене. Також піфагорійці вивели формулу і знайшли безліч цілих розв'язків рівняння , так званих піфагорійських трійок (виведення першої формули визначення піфагорійських трійок приписують Платону, який приділяв велику увагу арифметиці, чи науці про числа).

Відомо, що у піфагорійців існувало вчення про раціональні числа, або відношення відрізків, але саме воно не збереглося. Разом з тим, їм належить доведення несумірності діагоналі і сторони одиничного квадрата. Дане відкриття означало, що відношень цілих чисел недостатньо для вираження відношень будь-яких відрізків і на цій основі неможливо будувати метричну геометрію. Перше вчення про ірраціональності належить Теєтету, учневі Сократа. Він визначив, що для квадрата, площа якого виражається цілим неквадратних числом, сторона є несумірною стороні одиничного квадрата, іншими слова визначив ірраціональності виду , аналогічним чином він визначив ірраціональність виду для одиничного куба.

Загальна теорія подільності з'явилась у 399 році до н. е. і належить, вочевидь, також Теєтету. Евклід присвятив їй книгу VII і частину книги IX «Начал». В основі теорії лежить алгоритм Евкліда для знаходження спільного найбільшого дільника двох чисел. Наслідком алгоритму є можливість розкладання будь-якого числа на прості співмножники, а також єдиність такого розкладання. Закон однозначності розкладання на прості множники є основною арифметики простих чисел. Алгоритм Евкліда дозволяє визначити неповні окремі розкладання раціонального числа у неперервний дріб. Разом з тим, поняття неперервного дробу у Стародавній Греції не виникло.