Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук, 1929) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл, а ряд або скінченну суму: .
Тут — вагова функція, — квадратична норма, . Для вагова функція з точністю до постійного множника зводиться до біноміального коефіцієнта.
Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд .
Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду
,
де
Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:
В границі при поліноми Кравчука переходять у Поліноми Ерміта:
Перші чотири поліноми для найпростішого випадку :
Породжуюча функція
Звичайна породжуюча функція
Джерела
Sur une généralisation des polynomes d'Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985. Krawtchouk Polynomials Home Page
Див. також
Матриці Кравчука