Теорема Дарбу — теорема в математичному аналізі, що стверджує — якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка. Теорема названа на честь французького математика Жана Гастона ДарбуG. Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues, Ann. Sci. E.N.S. 4 (1875) 57-112.
У випадку, якщо похідна є неперервною, дане твердження є наслідком теореми Больцано-Коші. Проте теорема Дарбу справедлива навіть якщо похідна не є неперервною.
Твердження теореми Нехай — відкритий інтервал, — дійсна диференційована функція. Тоді володіє властивістю середнього значення: якщо і — точки, що належать і , для кожного дійсного числа такого що існує для якого
Доведення
Розглянемо функцію визначену як
де є дійсним числом, що знаходиться строго між і .
Функція є диференційованою на відрізку і
Зокрема, і , тому і згідно з визначенням .
Функція є неперервною на отже досягає на ньому мінімуму (друга теорема Вейєрштрасса).
Функція не досягає мінімуму в точці , оскільки тоді для всіх :
і взявши границю коли прямує до , одержуємо , що неможливо. Так само мінімум неможливий у точці оскільки звідси випливало б .
Отже мінімум досягається в точці, що є внутрішньою у відрізку . Тоді згідно з теоремою Ферма , звідки .
Див. також Теорема Больцано-Коші Теорема Ролля
Примітки
Джерела