Парадокс Смейла — твердження у диференціальній топології, що сферу в тривимірному просторі можна вивернути навиворіт в класі занурень, тобто з можливими самоперетинами, але без перегинів. Іншими словами, образ сфери у кожний момент деформації мусить залишатися гладким, тобто диференційовним.
Парадокс Смейла — це зовсім не логічний парадокс, це теорема, проте вельми контрінтуїтивна. Точніше:
Нехай є стандартне вкладення сфери у тривимірний простір. Тоді існує неперервне однопараметричне сімейство гладких занурень , таке, що і .
Досить тяжко уявити конкретний приклад такого сімейства занурень, хоча існує багато ілюстрацій та фільмів.Відео вивертання сферы на YouTube: Відео вивертання сфери російською мовою: З іншого боку, значно простіше довести, що таке сімейство існує. Це і зробив Смейл.
Література
Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281–290. Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.
Примітки