Комп'ютер для операцій з математичними функціями (на відміну від звичайного комп'ютера) оперує з функціями на апаратному рівні (тобто без програмування цих операцій).

Історія Обчислювальна машина для операцій з функціями була запропонована і розроблена Карцевим в 1967 році. У число операцій цієї обчислювальної машини входили додавання, віднімання і множення функцій, порівняння функцій, аналогічні операції над функцією і числом, відшукання максимуму функцій, обчислення невизначеного інтеграла, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій, зсув функції з абсциси і т. д. За архітектурою ця обчислювальна машина була (користуючись сучасною термінологією) векторним процесором. У ній використовувався той факт, що багато з цих операцій можуть бути витлумачені як відомі операції над векторами: додавання і віднімання функцій — як додавання і віднімання векторів, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій — як обчислення скалярного добутку двох векторів, зсув функцій з абсциси — як поворот вектора щодо осей координат і т. д. У 1966 році Хмєльник запропонував метод кодування функцій , тобто представлення функції єдиним (для функції в цілому) позиційним кодом. При цьому зазначені операції з функціями виконуються як унікальні машинні операції з такими кодами на єдиному арифметичному пристрої

Позиційні коди функцій одного аргументу

Основна ідея Позиційний код цілого числа являє собою запис цифр цього числа в деякій позиційній системі числення, що має вигляд

Такий код можна назвати лінійним. На відміну від нього позиційний код функції одного аргументу має вигляд

тобто є плоским і трикутним, оскільки цифри в ньому утворюють трикутник.

Вказаному позиційному коду цілого числа відповідає сума виду ,.

де  — підстава даної системи числення. Вказаному позиційному коду функції одного аргументу відповідає подвійна сума виду ,

де  — ціле позитивне число, кількість значень цифри ,  — певна функція аргументу .

Додавання позиційних кодів чисел пов'язане з передачею перенесення в старший розряд за схемою . Додавання позиційних кодів функцій одного аргументу також пов'язане з передачею перенесення за схемою . При цьому одне і теж перенесення передається одночасно в два старших розряди.

R-ті трикутні коди Трикутний код називається R-м (і позначається як ), якщо числа приймають значення з множини де и . Наприклад, трикутний код є потрійним , якщо , і — четверичним , якщо .

Для R-х трикутних кодів справедливі наступні рівності: ,

де a — будь-яке число. існує будь-якого цілого дійсного числа. Зокрема, . Також існує любої функції виду . Зокрема, .

Однорозрядне складання У R-х трикутних кодах полягає в тому, що у даному -розряді визначається сума складових розрядів і двох перенесень , що поступили в цей розряд ліворуч, тобто , ця сума представляється у вигляді , де , записується в -розряд сумарного коду, а перенесення з цього розряду передається в -разряд і -розряд.

Ця процедура описується(як і при однорозрядному складанні чисел) таблицею однорозрядного складання, де мають бути присутніми усі значення доданків і і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми . Така таблиця може бути синтезована при

Нижче приведена таблиця однорозрядного складання при : SmkTK(Smk) . . 0 . . 00 000 . . 0 . . 11 0 1 0 . . 0 . . (-1)(-1) 0 (-1) 0 . . 1 . . 2(-1) 1 (-1) 1 . . 1 . . 30 1 0 1 . . 1 . . 41 1 1 1 . . (-1) . . (-2)1 (-1) 1 (-1) . . (-1) . . (-3)0 (-1) 0 (-1) . . (-1) . . (-4)(-1) (-1) (-1)(-1)

Однорозрядне віднімання у R-х трикутних кодах відрізняється від однорозрядного складання тільки тим, що в даному -розряді величина визначається по формулі .

Однорозрядне ділення на параметр R у R-х трикутних кодах ґрунтовано на використанні співвідношення , звідки витікає, що ділення кожного розряду викликає перенесення в два нижні розряди. Отже, розрядний результат в цій операції є сумою частки від ділення цього розряду на R і перенесень з двох верхніх розрядів. Таким чином, при діленні на параметр R у даному -розряді визначається сума , ця сума представляється у вигляді , де , записується в -розряд результуючого коду, а перенесення з цього розряду передається в -разряд і -розряд.

Ця процедура описується таблицею однорозрядного ділення на параметр R, де мають бути присутніми усі значення доданків і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми . Така таблиця може бути синтезована при

Ниже приведена таблица одноразрядного ділення на параметр R при : SmkTK(Smk) . . 0 . . 00 000 . . 1 . . 10 0 1 0 . . (-1) . . (-1)0 0 (-1) 0 . . 0 . . 1/31 (-1/3) 0 1 . . 1 . . 2/3(-1) 1/3 1 (-1) . . 1 . . 4/31 (-1/3) 1 1 . . 2 . . 5/3(-1) 1/3 2 (-1) . . 0 . . (-1/3)(-1) 1/3 0 (-1) . . (-1) . . (-2/3)1 (-1/3) (-1)1 . . (-1) . . (-4/3)(-1) 1/3 (-1)(-1) . . (-2) . . (-5/3)1 (-1/3) (-2)1 Складання і віднімання R-х трикутних кодів полягає(як і в позиційних кодах чисел) в послідовно виконуваних однорозрядних операціях. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного стовпця виконуються одночасно.

Множення R-х трикутних кодів. Множення деякого коду на -розряд іншого коду полягає в -зміщенні коду , тобто зрушенні його на k стовпців вліво і на m рядків вгору. Множення кодів і полягає в послідовних -зміщеннях коду і складаннях зрушеного коду з частковим твором(як і в позиційних кодах чисел).

Диференціювання R-х трикутних кодів. Похідна функції , визначеною вище . Тому диференціювання трикутних кодів функції полягає у визначенні трикутного коду приватною похідною і множенні його на відомий трикутний код похідної . Визначення трикутного коду приватною похідною ґрунтовано на співвідношенні . Спосіб диференціювання полягає в організації перенесень з mk- розряду в(m 1, k) -розряд і в(m — 1, k) -розряд, а їх підсумовування в цьому розряді робиться аналогічно однорозрядному складанню.

Кодування і декодування R-х трикутних кодів. Функція, представлена рядом виду , з цілими коефіцієнтами , може бути представлена R-м трикутним кодом, оскільки ці коефіцієнти і функції мають R-ті трикутні коди(про що сказано на початку розділу). З іншого боку, R-й трикутний код може бути представлений вказаним рядом, оскільки будь-який доданок у позиційному розкладанні функції(що відповідає цьому коду) може бути представлено таким же рядом.

Укорочення R-х трикутних кодів. Так називається операція зменшення числа не нульових стовпців. Необхідність укорочення виникає при виникненні перенесень за розрядну сітку. Укорочення полягає в діленні на параметр R. При цьому усі коефіцієнти уявного кодом ряду зменшуються в R разів, а дробові частини цих коефіцієнтів відкидаються. Зникає також старший член ряду. Таке скорочення допустиме, якщо відомо, що ряди функцій сходяться. Укорочення полягає в послідовно виконуваних однорозрядних операціях ділення на параметр R. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного рядка виконуються одночасно, а перенесення з молодшого рядка відкидаються.

Масштабний коефіцієнт R-й трикутний код супроводжується масштабним коефіцієнтом M, аналогічним порядку в числі з рухомою комою. Коефіцієнт M дозволяє представити усі коефіцієнти кодованого ряду у вигляді цілих чисел. Коефіцієнт M множиться на R при укороченні коду. При складанні коефіцієнти M вирівнюються, для чого необхідно укорочувати один із складових кодів. При множенні коефіцієнти M також множаться.

Позиційні коди функцій багатьох аргументів

Позиційний код функції двох аргументів зображений на мал. 1. Йому відповідає потрійна сума виду ,

де  — ціле позитивне число, кількість значень цифри , а  — певні функції аргументів відповідно. На мал. 1 вузли відповідають цифрам , а в кухлях показані значення індексів відповідної цифри. Позиційний код функції двох аргументів називається пірамідальним. Позиційний код називається R-м(і позначається як ), якщо числа набувають значень з множини . При складанні кодів перенесення поширюється в чотири розряди і тому .

Позиційному коду функції декількох аргументів відповідає сума виду ,

де  — ціле позитивне число, кількість значень цифри , а  — певні функції аргументів . Позиційний код функції декількох аргументів називається гіперпірамідальним. На мал. 2 показаний для прикладу позиційний гіперпірамідальний код функції трьох аргументів. У нім вузли відповідають цифрам , а в кухлях показані значення індексів відповідної цифри. Позиційний гіперпірамідальний код називається R-м(і позначається як ), якщо числа набувають значень з множини . При складанні кодів перенесення поширюється в a-мерный куб, що містить розрядів і тому .

Примітки