Алгебричною операцією на множині називається функція яка є відображенням виду де  — декартів добуток в який входить разів.

У цьому визначенні є два важливих моменти. По-перше, оскільки операція є функцією, то результат застосування операції визначено однозначно. Тому даний упорядкований набір з елементів множини функція переводить тільки в один елемент із . По-друге, операція замкнена на у тому розумінні, що область визначення та область значень операції лежать у і відповідно.

Кажуть, що операція має порядок або є -арна операція. Частіше зустрічається ситуація, коли порядок дорівнює або . Операції виду називають унарними, а операції називають бінарними. Елементи упорядкованого набору з елементів в області визначення називають операндами. Операції звичайно позначають символами, що називають операторами. У випадку унарних операції звичайно символ оператора ставлять перед або над операндом.

Види запису операцій Розглянемо три варіанти запису бінарної операції складання і  — оператор ставиться між операндами:  — оператор ставиться перед операндами:  — оператор ставиться після операндів:

Префіксний та постфіксний способи запису не потребують дужок при визначенні порядку обчислювання складних виразів, і це робить їх особливо зручними для автоматичної обробки. Вони часто використовуються для представлення виразів у пам'яті комп'ютера.

Алгоритм обчислення значень виразу, що записаний у постфіксній формі При перегляді запису зліва направо виконується перша знайдена операція, якій безпосередньо передує достатня для неї кількість операндів. На місці виконаної операції і використаних для цього операндів у рядок записується результат виконання операції. Повертаємося до кроку

Приклад Маємо вираз: (5 * 6) / ((8 — 3) * (7 + 1) * 4) .

Запишемо його у постфіксній формі: 5 6 * 8 3 — 7 1 + 4 * / .

Тепер ми можемо його розв'язати: 5 6 * 8 3 — 7 1 + 4 * / = 30 8 3 — 7 1 + 4 * / = 30 5 7 1 + 4 * / = 30 5 8 4 * / = 30 160 / = 0.1875 .

Властивості операцій Нехай дано множину на якій визначено дві бінарні операції Позначення абстрактної бінарної операції. та

Комутативність Якщо для всіх то стверджують, що бінарна операція на множині має властивість — комутативність.

Асоціативність Якщо для всіх то стверджують, що бінарна операція на множині має властивість — асоціативність.

Дистрибутивність Якщо для всіх то стверджують, що бінарна операція на множині має властивість — дистрибутивність відносно операції

Приклад Маємо дві бінарні операції: додавання та віднімання Перевіримо їх комутативність, асоціативність та дистрибутивність на множині дійсних чисел

Комутативність  — операція додавання є комутативною.

 — операція віднімання не є комутативною.

Асоціативність  — операція додавання є асоціативною.

 — операція віднімання не є асоціативною.

Дистрибутивність  — операція додавання не є дистрибутивною відносно операції віднімання.

 — операція віднімання не є дистрибутивною відносно операції додавання.

Примітки

Джерела Бондаренко М. Ф., Білоус Н. В., Руткас А. Г. Комп'ютерна дискретна математика: Підручник. — Харків: «Компанія СМІТ», 2004. С. 73-76.