Напівправильні многогранники — низка опуклих многогранників, які не є правильнимиБевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія 10-11 клас. — : Вежа, 2002. — С. 103. ISBN 966-7091-31-7., але мають деякі їхні ознаки, серед яких однаковість усіх граней, всі грані є правильними многокутниками, просторова симетрія. Визначення може диференціюватися включаючи різні види многогранників, та в першу чергу сюди відносять архімедові тіла.
Архімедові тіла
Архімедові тіла — опуклі многогранники, із двома властивостями: Всі грані є правильними многокутниками двох чи більше типів (якщо всі грані є правильними многокутниками одного типу, це — правильний многогранник); Для будь-якої пари вершин існує симетрія многогранника (рух що переводить многогранник в себе) що переводить одну вершину в іншу. Зокрема, Всі многогранні кути при вершинах конгруентні.
Історичні спогади приписують побудову перших напівправильних многогранників Архімеду, хоча доказових праць щодо обґрунтування ним принципів їх побудови не знайдено.
Каталанові тіла Тіла, двоїсті архімедовим, так звані каталанові тіла, мають конгруентні грані (переводяться одна в одну зсувом, обертанням або відбиттям), рівні двогранні кути та правильні многогранні кути. Каталанові тіла теж іноді називають напівправильними многогранниками. У цьому випадку напівправильними многогранниками вважають сукупність архімедових і каталанових тіл. Архімедові тіла є напівправильними многогранниками в тому сенсі, що їхні грані – правильні многокутники, але вони не однакові, а каталанові – в тому сенсі, що їхні грані однакові, але не є правильними многокутниками; при цьому для тих і тих зберігається умова одного з типів просторової симетрії: тетраедричного, октаедричного або ікосаедричного.
Тобто, напівправильними в цьому випадку називають тіла, в яких відсутня тільки одна з перших двох із таких властивостей правильних тіл:
усі грані є правильними многокутниками ; усі грані однакові; тіло належить до одного з трьох типів просторової симетрії.
В архімедових тіл відсутня друга властивість, у каталанових - перша, третю властивість мають тіла обох видів.
Існує 13 архімедових тіл, два з яких (кирпатий куб і кирпатий додекаедр) не є дзеркально-симетричними і мають ліву та праву форми. Відповідно, існує 13 каталанових тіл.
Список напівправильних многогранників Многогранник — архімедове тілоГраніВершиниРебраКонфігурація вершиниДвоїстий — каталанове тілоГрупа симетріїКубооктаедр8 трикутників6 квадратів12243,4,3,4РомбододекаедрOhІкосододекаедр20 трикутників12 п'ятикутників30603,5,3,5РомботриаконтаедрIhЗрізаний тетраедр4 трикутники4 шестикутники12183,6,6ТриакістетраедрTdЗрізаний октаедр6 квадратів8 шестикутників24364,6,6Тетракісгексаедр(заломлёний куб)OhЗрізаний ікосаедр12 п'ятикуттників20 шестикутників60905,6,6ПентакісдодекаедрIhЗрізаний куб8 трикутників6 восьмикутників24363,8,8ТриакісоктаедрOhЗрізаний додекаедр20 трикутників12 десятикутників60903,10,10ТриакісікосаедрIhРомбокубооктаедр8 трикутників18 квадратів (6 — у кубічному положенні, 12 — у ромбічному)24483,4,4,4Дельтоїдальний ікосітетраедрOhРомбоікосододекаедр20 трикутників30 квадратів12 п'ятикутників601203,4,5,4Дельтоїдальний гексеконтаедрIhРомбозрізаний кубооктаедр12 квадратів8 шестикутників6 восьмикутників48724,6,8ГекзакісоктаедрOhРомбозрізаний ікосододекаедр30 квадратів20 шестикутників12 десятикутників1201804,6,10ГекзакісікосаэдрIhКирпатий куб32 трикутники
6 квадратів24603,3,3,3,4Пентагональний ікосітетраедрOКирпатий додекаедр80 трикутників
12 п'ятикутників601503,3,3,3,5Пентагональний гексеконтаедрI
Інші Крім архімедових і каталанових тіл, існують нескінченні послідовності многогранників, що належать до напівправильних: ті правильні призми та правильні антипризми, у яких усі ребра рівні.
Використання Каталанові тіла - разом із платоновими тілами, рівногранними біпірамідами і трапецоедрами - використовують як гральні кісточки в деяких настільних іграх (див. світлини). Архімедові тіла, в яких грані не рівноправні і тому мають різні шанси випадання, для цього мало придатні.
Див. також Правильний многогранник Зірчастий многогранник Призма Антипризма
Примітки
Література Гордєєва Є. П., Величко В. Л. Нарисна геометрія. багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007. — 198с.
Посилання
Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями// Записки научных семинаров ЛОМИ. Том 2 -- 1966.